Гипотеза Эллиота — Халберстама

Гипотеза Эллиота — Халберстама $EH(\theta )$ — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота (Шаблон:Lang-en) и Хайни Халберстама (Шаблон:Lang-en).

Пусть $\pi (x)$ — число простых чисел, не превышающих $x$. Если $q$ — натуральное число, а $a$ и $q$ — взаимно простые числа, то мы обозначим $\pi (x;q,a)$ — число простых чисел, не превышающих $x$ и равных $a$ по модулю $q$. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что

$\pi (x;q,a)\approx \frac{\pi (x)}{\phi (q)},$

где $a$ и $q$ взаимно просты, а $\phi (q)$ — функция Эйлера.

Определим теперь функцию погрешности

$\mathrm{\Delta }(x;q)=\underset{(a,q)=1}{\max }|\pi (x;q,a)-\frac{\pi (x)}{\phi (q)}|,$

где максимум берется по всем $a,$ взаимно простым с $q.$

Тогда для всех $\theta <1$ и всех $A>0$ найдётся такая константа $C>0$, что выполняется

$\sum _{1⩽q⩽x^{\theta }}\mathrm{\Delta }(x;q)⩽\frac{Cx}{{\ln }^{A}x}$

для всех $x>2.$

Эта гипотеза была доказана для всех $\theta <1/2$ Энрико Бомбьери и А. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайней точке $\theta =1.$

Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например, результат Дэна Голдстона утверждает, что в предположении справедливости гипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года Джеймс Мейнард показал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получить существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года группа Polymath показала, что при условии истинности обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья