Гипотезы Тэйта
Гипотезы Тэйта — это три гипотезы, высказанные математиком XIX века Питером Гатри Тэйтом при Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Гипотезы Тэйта вовлекают концепции из теории узлов, такие как альтернированные узлы, хиральность и число закрученности. Все гипотезы Тэйта доказаны, последней была гипотеза о переворачивании.
Предпосылки
Тэйт пришёл к своим гипотезам в конце XIX века после попыток Шаблон:Не переведено 5 все узлы. Как у основателя теории узлов, его работа не обладала строгим математическим обоснованием, и не совсем понятно, распространял ли он свои гипотезы на все узлы, или только на альтернированные. Оказалось, что большинство из них верны только для альтернированных узловШаблон:Sfn. В гипотезах Тэйта диаграмма узла называется «сокращённой», если все «перешейки» или «тривиальные перекрещивания» удалены.
Число пересечений альтернированных узлов
Тэйт предположил, что при некоторых обстоятельствах число пересечений является инвариантом узла, в частности:
Любая сокращённая диаграмма альтернированного зацепления имеет наименьшее возможное число пересечений.
Другими словами, число пересечений сокращённого альтернированного зацепления является инвариантом узла. Эту гипотезу доказали Луис Кауффман, Кунио Мурасуги (村杉 邦男) и Морвен Б. Тистлетвэйт в 1987 году с помощью многочлена ДжонсаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Геометрическое доказательство, не использующее многочлены узла, дал в 2017 году Джошуа ГриинШаблон:Sfn.
Число закрученности и хиральность
Вторая гипотеза Тэйта:
Амфихаральное (или ахиральное) альтернированное зацепление имеет нулевое число закрученности.
Эту гипотезу также доказали Кауффман и ТистлетвэйтШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Перевёртывание
Гипотезу Тэйта о перевёртывании можно сформулировать так:
Если даны две сокращённые альтернированные диаграммы
и
ориентированного простого альтернированного зацепления, то диаграмма
может быть преобразована в
путём последовательности некоторого вида операций, называемых Шаблон:Не переведено 5Шаблон:R
Гипотезу Тэйта о перевёртывании доказали Тистлетвэйт и Уильям Менаско в 1991 годуШаблон:Sfn. Из гипотезы Тэйта о перевёртывании вытекает несколько других гипотез Тэйта:
Любые две сокращённые диаграммы одного и того же альтернированного узла имеют одинаковое число закрученности.
Это следует из того, что перевёртывание сохраняет число закрученности. Этот факт доказали ранее Мурасуги и ТистлетвэйтШаблон:SfnШаблон:Sfn. Это также следует из работы ГриинаШаблон:Sfn. Для неальтернированных узлов эта гипотеза не верна и пара Перко является контрпримеромШаблон:Sfn.
Из этого результата следует также следующая гипотеза:
Альтернированные амфихиральные узлы имеют чётное число пересеченийШаблон:Sfn.
Это следует из того, что зеркальный узел имеет противоположное число закрученности. Эта гипотеза снова верна только для альтернированных узлов — существует неальтернированный амфихиральный узел с числом пересечений 15Шаблон:R.