Гравитомагнетизм

Шаблон:ОТО Гравитомагнети́зм, гравимагнети́зм, иногда гравитоэлектромагнети́зм — общее название нескольких эффектов, вызываемых движением гравитирующего тела.

Гравитомагнетизм в общей теории относительности

В отличие от ньютоновской механики, в общей теории относительности (ОТО) движение пробной частицы (и ход часов) в гравитационном поле зависит от того, как вращается тело — источник поля. Влияние вращения сказывается даже в том случае, когда распределение масс в источнике не меняется со временем (существует цилиндрическая симметрия относительно оси вращения). Гравитомагнитные эффекты в слабых полях чрезвычайно малы. В слабом гравитационном поле и при малых скоростях движения частиц можно отдельно рассматривать гравитационную («гравитоэлектрическую») и гравитомагнитную силы, действующие на пробное тело, причём напряжённость гравитомагнитного поля и гравитомагнитная сила описываются уравнениями, близкими к соответствующим уравнениям электромагнетизма.

Рассмотрим движение пробной частицы в окрестностях вращающегося сферически симметричного тела с массой Шаблон:Math и моментом импульса Шаблон:Math. Если частица массой Шаблон:Math движется со скоростью $v\ll c$ (Шаблон:Math — скорость света), то на частицу, помимо гравитационной силы, будет действовать гравитомагнитная сила, направленная, подобно силе Лоренца, перпендикулярно как скорости частицы, так и напряжённости гравитомагнитного поля Шаблон:Math:

$𝐅=\frac{m}{c}[𝐯\times 2{𝐁}_{\mathrm{g}}].$

При этом, если вращающаяся масса находится в начале координат и Шаблон:Math — радиус-вектор, напряжённость гравитомагнитного поля равна:

${𝐁}_{\mathrm{g}}=\frac{G}{2c}\frac{𝐋-3(𝐋\cdot 𝐫/r)𝐫/r}{r^3},$

где Шаблон:Math — гравитационная постоянная.

Последняя формула совпадает (за исключением коэффициента) с аналогичной формулой для поля магнитного диполя с дипольным моментом Шаблон:Math.

В ОТО гравитация не является самостоятельной физической силой. Гравитация ОТО сводится к искривлению пространства-времени и трактуется как геометрический эффект, приравнивается к метрическому полю. Такой же геометрический смысл получает и гравитомагнитное поле Шаблон:Math.

В случае сильных полей и релятивистских скоростей гравитомагнитное поле нельзя рассматривать отдельно от гравитационного, точно также как в электромагнетизме электрическое и магнитное поля можно разделять лишь в нерелятивистском пределе в статических и стационарных случаях.

Уравнения гравитоэлектромагнетизма

Согласно общей теории относительности, гравитационное поле, порождаемое вращающимся объектом, в некотором предельном случае может быть описано уравнениями, которые имеют ту же форму, что и уравнения Максвелла в классической электродинамике. Исходя из основных уравнений ОТО и предполагая, что гравитационное поле слабо, можно вывести гравитационные аналоги уравнений электромагнитного поля, которые могут быть записаны в следующей форме:

Уравнения гравитоэлектромагнетизма	Уравнения Максвелла в СГС
$\mathrm{\nabla }\cdot {𝐄}_{\text{g}}=-4\mathrm{\pi }G\mathrm{\rho }$	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=4{\mathrm{\pi }\mathrm{\rho }}_{\text{em}}$
$\mathrm{\nabla }\cdot {𝐁}_{\text{g}}=0$	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$
$\mathrm{\nabla }\times {𝐄}_{\text{g}}=-\frac{1}{c}\frac{\partial {𝐁}_{\text{g}}}{\partial t}$	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$
$\mathrm{\nabla }\times {𝐁}_{\text{g}}=-\frac{4\pi G}{c}𝐉+\frac{1}{c}\frac{\partial {𝐄}_{\text{g}}}{\partial t}$	$\mathrm{\nabla }\times 𝐁=\frac{4\pi }{c}{𝐉}_{\text{em}}+\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

где:

• Шаблон:Math — гравитационное поле (в рамках данной аналогии также называется «гравитоэлектрическим»);
• Шаблон:Math — электрическое поле;
• Шаблон:Math — гравитомагнитное поле;
• Шаблон:Math — магнитное поле;
• Шаблон:Math — плотность массы;
• Шаблон:Math — плотность заряда:
• Шаблон:Math — плотность тока массы (Шаблон:Math, где Шаблон:Math — поле скоростей массы, генерирующей гравитационное поле);
• Шаблон:Math — плотность электрического тока;
• Шаблон:Math — гравитационная постоянная;
• Шаблон:Math — скорость распространения гравитации (равная в ОТО скорости света).

На пробную частицу малой массы Шаблон:Math воздействует в гравитоэлектромагнитном поле сила, которая является аналогом силы Лоренца в электромагнитном поле и выражается следующим образом:

${𝐅}_{\text{m}}=m({𝐄}_{\text{g}}+\frac{1}{c}[𝐯\times 2{𝐁}_{\text{g}}]).$

где:

• Шаблон:Math — масса пробной частицы;
• Шаблон:Math — её скорость.

Коэффициент 2 при Шаблон:Math в уравнениях для гравитомагнитной силы, которого нет в аналогичных уравнениях для магнитной силы, возникает из-за того, что гравитационное поле описывается тензором второго ранга, в отличие от электромагнитного поля, описываемого вектором (тензором первого ранга). Иногда гравитомагнитным полем называют величину Шаблон:Math — в этом случае коэффициент 2 исчезает из уравнений для силы, а в уравнениях для гравимагнитного поля появляется коэффициент Шаблон:Frac.

При данном определении гравитомагнитного поля его размерность совпадает с размерностью гравитоэлектрического поля (ньютоновской гравитации) и равна размерности ускорения. Используется также другое определение, при котором гравитомагнитным полем называют величину Шаблон:Math, и в этом случае оно имеет размерность частоты, а приведённые выше уравнения для слабого гравитационного поля преобразуются в другую форму, сходную с уравнениями Максвелла в системе СИ.

Характерные величины поля

Из указанных выше уравнений гравитомагнетизма можно получить оценки характерных величин поля. Например, напряжённость гравитомагнитного поля, индуцированного вращением Солнца (Шаблон:Math=1,6Шаблон:E кг·м²/с), на орбите Земли составляет 5,3Шаблон:E м/с², что в 1,3Шаблон:E раз меньше ускорения свободного падения, вызванного притяжением Солнца. Гравитомагнитная сила, действующая на Землю, направлена от Солнца и равна 3,1Шаблон:E Н. Эта величина, хотя и очень велика с точки зрения повседневных представлений, на 8 порядков меньше обычной (ньютоновской — в данном контексте её называют «гравитоэлектрической») силы притяжения, действующей на Землю со стороны Солнца. Напряжённость гравитомагнитного поля вблизи поверхности Земли, индуцированная вращением Земли (её угловой момент Шаблон:Math=7Шаблон:E кг·м²/с), равна на экваторе 3,1Шаблон:E м/с², что составляет 3,2Шаблон:E стандартного ускорения свободного падения. Вращательный момент Галактики в окрестностях Солнца индуцирует гравитомагнитное поле напряжённостью ~2Шаблон:E м/с², примерно на 3 порядка меньше центростремительного ускорения Солнца в гравитационном поле Галактики (2,32(16)Шаблон:E м/с²).

Гравитомагнитные эффекты и их экспериментальный поиск

В качестве отдельных гравитомагнитных эффектов можно выделить:

• Эффект Лензе — Тирринга. Это прецессия спинового и орбитального моментов пробной частицы вблизи вращающегося тела. Мгновенная угловая скорость прецессии момента Шаблон:Math. Дополнительный член в гамильтониане пробной частицы описывает взаимодействие её спинового момента с моментом вращающегося тела: Шаблон:Math; по аналогии с магнитным моментом в магнитном поле, в неоднородном гравимагнитном поле на спиновый момент действует гравимагнитная сила Штерна — Герлаха $𝐅=-\mathrm{\nabla }(\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\Omega }).$ Эта сила, в частности приводит тому, что вес частицы на поверхности вращающейся Земли зависит от направления спина частицы. Однако разность энергий $2\hslash \mathrm{\Omega }$ для одинаковых частиц с проекциями спина $\pm \hslash$ на поверхности Земли не превышает Шаблон:Math, что пока находится далеко за пределами чувствительности эксперимента. Однако для макроскопических пробных частиц и спиновый, и орбитальный эффект Лензе — Тирринга был экспериментально проверен.
  • Орбитальный эффект Лензе — Тирринга приводит к повороту эллиптической орбиты частицы в гравитационном поле вращающегося тела. Например, для низкоорбитального искусственного спутника Земли на почти круговой орбите угловая скорость поворота перигея составит Шаблон:Nobr в год; для орбиты Меркурия эффект равен −0,0128″ в столетие. Данный эффект прибавляется к стандартной общерелятивистской прецессии перицентра (43″ в столетие для Меркурия), которая не зависит от вращения центрального тела. Орбитальная прецессия Лензе — Тирринга была впервые измерена для спутников LAGEOS и LAGEOS II.
  • Спиновый эффект Лензе — Тирринга (иногда его называют эффектом Шиффа) выражается в прецессии гироскопа, находящегося вблизи вращающегося тела. Этот эффект недавно был проверен с помощью гироскопов на спутнике Gravity Probe B; первые результаты обнародованы в апреле 2007, но в связи с недоучётом влияния электрических зарядов на гироскопы точность обработки данных вначале была недостаточна, чтобы выделить эффект (поворот оси на Шаблон:Nobr в год в плоскости земного экватора). Учёт мешающих эффектов позволил выделить ожидаемый сигнал, хотя обработка данных продлилась до мая 2011. Окончательный результат (Шаблон:Nobr в год) в пределах погрешности согласуется с приведённым выше значением, предсказанным ОТО.

• Геодезическая прецессия (эффект де Ситтера) возникает при параллельном переносе вектора момента импульса в искривленном пространстве-времени. Для системы Земля-Луна, движущейся в поле Солнца, скорость геодезической прецессии равна 1,9″ в столетие; точные астрометрические измерения выявили этот эффект, который совпал с предсказанным в пределах ошибки ~1 %. Геодезическая прецессия гироскопов на спутнике Gravity Probe B совпала с предсказанным значением (поворот оси на Шаблон:Nobr в год в плоскости орбиты спутника) с точностью лучше 1 %.

• Гравитомагнитный сдвиг времени. В слабых полях (например, вблизи Земли) этот эффект маскируется стандартными спец- и общерелятивистским эффектами ухода часов и находится далеко за пределами современной точности эксперимента. Поправка к ходу часов на спутнике, движущемся с угловой скоростью Шаблон:Math по орбите радиусом Шаблон:Math в экваториальной плоскости вращающегося массивного шара, равна 1 ± 3Шаблон:Math (по отношению к часам удалённого наблюдателя; знак + для сонаправленного вращения).

Ссылки

• Astronet.ru — Спутник Gravity Probe B подтвердил наличие гравимагнетизма
• In Search of gravitomagnetism, NASA, 20 April 2004Шаблон:Ref-en
• Gravitomagnetic London Moment — New test of General Relativity?Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Статья; Шаблон:Cite arXiv