Граф Паппа

В теории графов графом Паппа называется двудольный 3-регулярный неориентированный граф с 18 вершинами и 27 рёбрами, являющийся графом Леви конфигурации Паппа. Он назван в честь Паппа Александрийского, математика Древней Греции, который верил, что доказал «теорему о шестиугольнике», в которой описывал конфигурацию Паппа. Все кубические дистанционно-регулярные графы известны. Граф Паппа — один из тринадцати таких графов.

Число прямолинейных скрещиваний графа Паппа равно 5, и этот граф является наименьшим кубическим графом с таким числом скрещиваний (Шаблон:OEIS). Граф имеет обхват 6, диаметр 4, радиус 4, хроматическое число 2, хроматический индекс 3, а также является и вершинно 3-связным, и рёберно 3-связным.

Хроматический многочлен графа Паппа равен $(x-1)x(x^{16}-26x^{15}+325x^{14}-2600x^{13}+14950x^{12}-65762x^{11}+$$229852x^{10}-653966x^9+1537363x^8-3008720x^7+4904386x^6-$$6609926x^5+7238770x^4-6236975x^3+3989074x^2-1690406x+356509)$.

Имя «граф Паппа» используется также для близкого графа с девятью вершинами, по вершине для каждой точки конфигурации Паппа с рёбрами для каждой пары точек, находящихся на одной линии. Этот граф 6-регулярен и является дополнением объединения трёх не связанных друг с другом треугольных графов. Первый граф Паппа можно вложить в тор, получая при этом Шаблон:Не переведено 5 с девятью шестиугольными гранями. Второй граф образует при таком вложении правильную карту с 18 треугольными гранями.

Алгебраические свойства

Группа автоморфизмов графа Паппа — это группа с порядком 216. Она действует транзитивно на вершины и рёбра графа. Таким образом, граф Паппа является симметричным. У него есть автоморфизмы, переводящие любую вершину в любую другую и любое ребро в любое другое ребро. В списке Фостера граф Папа обозначен как F018A и является единственным кубическим симметричным графом с 18 вершинами.

Характеристический многочлен графа Паппа равен $(x-3)x^4(x+3)(x^2-3{)}^6$. Это единственный граф с таким характеристическим полиномом, так что в данном случае граф определяется своим спектром.

Галерея

• 
  Граф Паппа, раскрашенный для выделения различных циклов.
• 
  хроматический индекс графа Паппа равен 3.
• 
  Хроматическое число графа Паппа равно 2.