Граф Фолкмана

Граф Фолкмана (названный именем Джона Фолкмана) — это двудольный 4-регулярный граф с 20 вершинами и 40 рёбрами^[1].

Граф Фолкмана является гамильтоновым и имеет хроматическое число 2, хроматический индекс 4, радиус 3, диаметр 4 и обхват 4. Он также является вершинно 4-связным, рёберно 4-связным и совершенным. Граф имеет книжное вложение 3 и число очередей 2Шаблон:Sfn.

Алгебраические свойства

Группа автоморфизмов графа Фолкмана действует транзитивно на его рёбра, но не на его вершины. Это наименьший неориентированный граф, который является рёберно-транзитивным и регулярным, но не вершинно транзитивным Шаблон:Sfn. Такие графы называются полусимметричными, их первым изучал Фолкман в 1967 и обнаружил граф с 20 вершинами, который был позже назван его именемШаблон:Sfn.

Как полусимметричный граф, граф Фолкмана является двудольным и его группа автоморфизмов действует транзитивно на каждую долю вершин двудольного графа. На диаграмме ниже, показывающей хроматическое число графа, зелёные вершины не могут быть отражены в красные каким-либо автоморфизмом, но любая красная вершина может быть отражена в любую другую красную вершину, а любая зелёная — в любую другую зелёную вершину.

Характеристический многочлен графа Фолкмана равен $(x - 4) x^{10} (x + 4) (x^{2} - 6)^{4}$ .