Граф единичных расстояний

Граф Петерсена является графом единичных расстояний — его можно нарисовать на плоскости так, что каждое ребро будет иметь единичную длину.

В теории графов графом единичных расстояний называется граф, образованный точками на евклидовой плоскости, при этом две вершины соединяются ребром, если расстояние между ними равно в точности единице. Рёбра графа единичных расстояний иногда пересекаются, так что они не всегда планарны. Граф единичных расстояний без пересечений называется спичечным графом.

Проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера касается хроматического числа графов единичных расстояний. Известно, что существуют графы единичных расстояний, требующие 5 цветов для правильной раскраски и что все такие графы можно раскрасить не более чем в 7 цветов. Другая важная открытая задача, касающаяся графов единичных расстояний, спрашивает, сколько рёбер может иметь такой граф по отношению к числу вершин.

Примеры

Граф гиперкуба Q₄ граф единичных расстояний.

Следующие графы являются графами единичных расстояний:

• любой цикл;
• любая решётка;
• любой граф гиперкуба;
• любая звезда;
• граф Петерсена;
• граф Хивуда Шаблон:Harv;
• Колесо W₇;
• веретено Мозера, наименьший граф единичных расстояний с хроматическим числом 4.

Подграфы графов единичных расстояний

Рисунок с единичными расстояниями графа Мёбиуса-Кантора, в котором некоторые несмежные рёбра тоже находятся на расстоянии единица.

Некоторые авторы определяют граф единичных расстояний как граф, который можно вложить в плоскость так, что любые две смежные вершины должны находиться на расстоянии единица, но не обязательно вершины, находящиеся на расстоянии единица, должны быть смежными. Например граф Мёбиуса-Кантора имеет графическое представление такого вида.

Согласно такому определению все обобщённые графы Петерсена являются графами единичных расстояний Шаблон:Harv. Чтобы различать эти два определения, графы, у которых любые две вершины, находящиеся на расстоянии единица, соединены ребром, будем называть строгими графами единичных расстояний Шаблон:Harv.

Файл:Wheel7-woSpoke.svg

Колесо W₇ с удалённой спицей как пример графа единичных расстояний, но не строгого графа единичных расстояний

Граф, образованный удалением одной спицы из колеса W₇, является подграфом единичных расстояний, но не строгим графом единичных расстоянийШаблон:Harv.

Подсчёт единичных расстояний

Эрдёш Шаблон:Harv предложил задачу оценки в множестве из n точек числа пар, находящихся на расстоянии единицы. В терминах теории графов вопрос состоит в оценке плотности графа единичных расстояний.

Граф гиперкуба даёт нижнюю границу числа единичных расстояний, пропорциональную $n\log n.$ Рассматривая точки квадратной решётки с тщательно выбранным расстоянием, Эрдёш нашёл улучшенную нижнюю границу

$n^{1+c/\log \log n},$

и предложил премию в 500 долл. за выяснение, выражается ли максимальное число единичных расстояний функцией того же вида Шаблон:Harv. Лучшая известная верхняя граница, согласно Спенсеру, Семереди и Троттеру Шаблон:Harv, пропорциональна

$n^{4/3};$.

Эту границу можно рассматривать как число попаданий точек на единичные окружности и она тесно связана с теоремой Семереди — Троттера об инцидентности точек и прямых.

Представление алгебраических чисел и теорема Бекмана-Куорлса

Для любого алгебраического числа A можно найти граф единичных расстояний G, в котором некоторые пары вершин находятся на расстоянии A во всех представлениях с единичными расстояниями G Шаблон:Harv Шаблон:Harv. Этот результат подразумевает конечную версию Шаблон:Не переведено 5 —для любых двух точек p и q, находящихся на расстоянии A, существует конечный Шаблон:Не переведено 5 граф единичных расстояний, содержащий p и q такой, что любое преобразование плоскости, сохраняющее единичные расстояния в этом графе сохраняет расстояние между p и q Шаблон:Harv. Полная теорема Бекмана — Куорлса утверждает, что любое преобразование евклидовой плоскости (или пространства большей размерности), сохраняющее расстояния должно быть конгруэнцией. Таким образом для бесконечных графов единичных расстояний, вершинами которых является вся плоскость, любой автоморфизм графа должен быть изометрией Шаблон:Harv.

Обобщение на большие размерности

Определение графа единичных расстояний может быть естественным образом обобщено на любую размерность евклидового пространства. Любой граф можно вложить в виде набора точек в пространство достаточно высокой размерности. Маэхара и Рёдль Шаблон:Harv показали, что размерность, необходимая для вложения графа, может быть ограничена удвоенной максимальной степенью.

Необходимая для вложения графа размерность, при котором все рёбра будут иметь единичную длину, и размерность вложения, при котором рёбра будут соединять в точности те точки, между которыми расстояние единица, могут существенно отличаться. Корону с 2n вершинами можно вложить в четырёхмерное пространство так, что все рёбра будут иметь единичную дину, но требуется по меньшей мере размерность n − 2, чтобы вложить так, что не будет пар вершин, находящихся на расстоянии единица, не соединённых ребром Шаблон:Harv.

Вычислительная сложность

Является NP-трудной задачей, точнее полной для теории существования вещественных чисел, проверить, является ли данный граф графом единичных расстояний или строгим графом единичных расстояний Шаблон:Harv.

См. также

• Граф единичных кругов, граф на плоскости, у которого две вершины соединены ребром, если расстояние между точками не превосходит единицы.

Примечания

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Статья Как цитировано в Шаблон:Harvnb.
• Шаблон:Статья.
• Шаблон:Статья.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья.
• Шаблон:Статья.
• Шаблон:Статья.
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья.
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Mathworld