Группа Конвея Co1

Группа Конвея Co₁ — это спорадическая простая группа порядка

$2^{21}\cdot 3^9\cdot 5^4\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 23$

= 4157776806543360000

≈ 4Шаблон:E.

История и свойства

Co₁ является одной из 26 спорадических групп и была открыта Джоном Хортоном Конвеем в 1968. Группа является самой большой из трёх спорадических групп Конвея и может быть получена как факторгруппа Co₀ (группа автоморфизмов решётки Лича $\mathrm{\Lambda }$, сохраняющих начало координат) по её центру, который состоит из скалярных матриц ±1. Группа также возникает на вершине группы автоморфизмов чётной 26-мерной унимодулярной решётки Шаблон:Не переведено 5. Некоторые, не совсем понятные, комментарии в коллекции работ Витта позволяют полагать, что он нашёл решётку Лича и, возможно, порядок её группы автоморфизмов в неопубликованной работе 1940 года.

Шаблон:Не переведено 5группы Co₁ тривиальна, а мультипликатор Шура имеет порядок 2.

Инволюции

Co₀ имеет 4 класса смежности инволюций. Они стягиваются к 2 в Co₁, но есть 4-элементы в Co₀, которые соответствуют третьему классу инволюций в Co₁.

Образ 12-элементных множеств (додекады) имеет централизатор типа 2¹¹:M₁₂:2, который содержится в максимальной подгруппе типа 2¹¹:M₂₄.

Образ октад или 16-элементных множеств имеет централизатор вида 2¹⁺⁸.O₈⁺(2), максимальная подгруппа.

Представления

Наименьшее точное перестановочное представление группы Co₁ состоит из 98280 пар {v,–v} векторов с нормой 4.

Централизатор инволюции типа 2B в монстре имеет вид $2^{1+24}{\mathrm{C}\mathrm{o}}_1$.

Диаграмма Дынкина чётной Лоренцевой унимодулярной решётки Шаблон:Не переведено 5 изометрична (аффинной) решётке Лича $\mathrm{\Lambda }$, так что группа авоморфизмов диаграммы является расщепляемым расширением $\mathrm{\Lambda }$,Co₀ аффинных изометрий решётки Лича.

Максимальные подгруппы

УилсонШаблон:Sfn нашёл 22 смежных классов максимальных подгрупп группы Co₁, хотя в его изначальном списке имеется несколько ошибок, которые он исправил позжеШаблон:Sfn.

• Шаблон:Не переведено 5
• 3.Suz:2 Подъём до $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{\Lambda })$ фиксирует комплексную структуру или изменяет её в сопряжённую структуру. Вершина башни Судзуки.
• 2¹¹:M₂₄ Подъём до $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{\Lambda })$ фиксирует каркас векторов. Образ мономиальной подгруппы группы $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{\Lambda })$
• Шаблон:Не переведено 5
• $2^{1+8}.{\mathrm{O}}_8^{+}(2)$ централизатор инволюции (образ октад из $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{\Lambda })$)
• ${\mathrm{U}}_6(2):{\mathrm{S}}_3$
• $({\mathrm{A}}_4\times {\mathrm{G}}_2(4)):2$ в Шаблон:Не переведено 5.
• $2^{2+12}:({\mathrm{A}}_8\times {\mathrm{S}}_3)$
• $2^{4+12}.({\mathrm{S}}_3\times 3.{\mathrm{S}}_6)$
• $3^2.{\mathrm{U}}_4(3).{\mathrm{D}}_8$
• 3⁶:2.M₁₂ (голоморф троичного кода Голея)
• (A₅ × J₂):2 в цепочке Судзуки
• $3^{1+4}:2.{\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{p}}_4(3).2$
• $({\mathrm{A}}_6\times {\mathrm{U}}_3(3)).2$ в цепочке Судзуки
• $3^{3+4}:2.({\mathrm{S}}_4\times {\mathrm{S}}_4)$
• ${\mathrm{A}}_9\times {\mathrm{S}}_3$ в цепочке Судзуки
• $({\mathrm{A}}_7\times {\mathrm{L}}_2(7)):2$ в цепочке Судзуки
• $({\mathrm{D}}_{10}\times ({\mathrm{A}}_5\times {\mathrm{A}}_5).2).2$
• $5^{1+2}:{\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(5)$
• $5^3:(4\times {\mathrm{A}}_5).2$
• $7^2:(3\times 2.{\mathrm{S}}_4)$
• $5^2:2{\mathrm{A}}_5$

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга Перепечатано в Шаблон:Harvnb
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья

Ссылки

• MathWorld: Conway Groups Шаблон:Wayback
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ version 2
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ Шаблон:Wayback version 3