Унимодулярная решётка

Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем $\pm 1$. Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решётки равен $1$.

Определения

• Решётка — свободная абелева группа ${\mathbb{Z}}^n$ конечного ранга $n$ с симметричной билинейной формой $(*,*)$.
• Решётку можно также рассматривать как подгруппу в вещественном векторном пространстве ${ℝ}^n$ с симметрической билинейной формой.
• Число $n$ называется размерностью решётки, это размерность соответствующего вещественного векторного пространства; это то же, что и ранг $\mathbb{Z}$-модуля ${\mathbb{Z}}^n$, или число образующих свободной группы ${\mathbb{Z}}^n$.
• Решётка называется целой, если форма $(*,*)$ принимает только целочисленные значения.
• Норма элемента $a$ решётки определяется как $(a,a)$.
• Решетка называется положительно определённой или лоренцевой, и так далее, если его векторное пространство таково. В частности:
  • Решётка является положительно определённой, если норма всех ненулевых элементов положительна.
  • Сигнатура решетки определяется как сигнатура формы на векторном пространстве.
• Определитель решётки — это определитель матрицы Грамма её базиса.
• Решётка называется унимодулярной, если её определитель равен $\pm 1$.
• Унимодулярная решетка называется чётной, если все нормы её элементов чётны.

Примеры

• $\mathbb{Z}\subset ℝ$, а также ${\mathbb{Z}}^n\subset {ℝ}^n$ — унимодулярные решётки.
• Решётка E8, решётка Лича — чётные унимодулярные решётки.

Свойства

• Для данной решётки в $\mathrm{\Lambda }\in {ℝ}^n$ вектора $x\in {ℝ}^n$ такие, что $(x,a)\in \mathbb{Z}$ для любого $a\in \mathrm{\Lambda }$ также образуют решётку называемую двойственной решёткой к $\mathrm{\Lambda }$.
  • Целая решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда её двойственная решетка является целой.
  • Унимодулярная решётка тождественна своей двойственной. По этой причине унимодулярные решётки также называются самодвойственными.
• Нечётные унимодулярные решетки существует для всех сигнатур.
• Чётная унимодулярная решетка с сигнатурой $(m,n)$ существует тогда и только тогда, когда $m-n$ делится на 8.
  • В частности, чётные положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8.
• Тета-функция унимодулярных положительно определенных решёток является модулярной формой.

Приложения

• Вторая группа когомологий замкнутых односвязных ориентированных топологических четырёхмерных многообразий является унимодулярной решеткой. Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки.
  • В частности, для нулевой формы это влечёт гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий.
  • Теорема Дональдсона гласит, что если многообразие является гладким и его решётка положительно определена, то она должна представлять собой сумму копий $\mathbb{Z}$.
    • В частности, что большинство из этих многообразий не имеет гладкой структуры.

Литература

• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Внешние ссылки

• Каталог унимодулярных решёток Нила Слоуна.
• Sloane's A005134 : Number of n-dimensional unimodular lattices", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.