Определитель Грама

Шаблон:Универсальная карточка

Определителем Грама (грамианом) системы векторов $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n}$ в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

| \begin{matrix} ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{1}, e_{n} ⟩ \\ ⟨ e_{2}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{2}, e_{n} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ ⟨ e_{n}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{n}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{n}, e_{n} ⟩ \end{matrix} |,

где $⟨ e_{i}, e_{j} ⟩$ — скалярное произведение векторов $𝐞_{i}$ и $𝐞_{j}$ .

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве $V$ система векторов $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n}$ порождает подпространство $U$ . Зная, чему равны скалярные произведения вектора $𝐱$ из $U$ с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора $x$ по векторам $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n}$ .

Исходя из разложения

𝐱 = x_{1} 𝐞_{1} + x_{2} 𝐞_{2} + \dots + x_{n} 𝐞_{n},

получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

{\begin{matrix} ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{1} ⟩ x_{1} + ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{2} ⟩ x_{2} + \dots + ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{n} ⟩ x_{n} = ⟨ 𝐞_{1}, 𝐱 ⟩; \\ ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{1} ⟩ x_{1} + ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{2} ⟩ x_{2} + \dots + ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{n} ⟩ x_{n} = ⟨ 𝐞_{2}, 𝐱 ⟩; \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{1} ⟩ x_{1} + ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{2} ⟩ x_{2} + \dots + ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{n} ⟩ x_{n} = ⟨ 𝐞_{n}, 𝐱 ⟩ . \end{matrix}

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n}$ линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве $V$ система векторов $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n}$ порождает подпространство $U$ . Зная скалярные произведения вектора $𝐱$ из $V$ с каждым из этих векторов, найти расстояние от $𝐱$ до $U$ .

Минимум расстояний $| 𝐱 - 𝐮 |$ по всем векторам $𝐮$ из $U$ достигается на ортогональной проекции вектора $𝐱$ на $U$ . При этом $𝐱 = 𝐮 + 𝐧$ , где вектор $𝐧$ перпендикулярен всем векторам из $U$ , и расстояние от $𝐱$ до $U$ равно модулю вектора $𝐧$ . Для вектора $𝐮$ решается задача о разложении (см. выше) по векторам $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n}$ , и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

𝐮 = - \frac{1}{Γ} | \begin{matrix} ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{1} ⟩ & ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{2} ⟩ & \dots & ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{n} ⟩ & ⟨ 𝐞_{1}, 𝐱 ⟩ \\ ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{1} ⟩ & ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{2} ⟩ & \dots & ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{n} ⟩ & ⟨ 𝐞_{2}, 𝐱 ⟩ \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{1} ⟩ & ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{2} ⟩ & \dots & ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{n} ⟩ & ⟨ 𝐞_{n}, 𝐱 ⟩ \\ 𝐞_{1} & 𝐞_{2} & \dots & 𝐞_{n} & 𝟎 \end{matrix} |,

где $Γ$ — определитель Грама системы. Вектор $𝐧$ равен:

𝐧 = 𝐱 - 𝐮 = \frac{1}{Γ} | \begin{matrix} ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{1} ⟩ & ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{2} ⟩ & \dots & ⟨ 𝐞_{1}, 𝐞_{n} ⟩ & ⟨ 𝐞_{1}, 𝐱 ⟩ \\ ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{1} ⟩ & ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{2} ⟩ & \dots & ⟨ 𝐞_{2}, 𝐞_{n} ⟩ & ⟨ 𝐞_{2}, 𝐱 ⟩ \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{1} ⟩ & ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{2} ⟩ & \dots & ⟨ 𝐞_{n}, 𝐞_{n} ⟩ & ⟨ 𝐞_{n}, 𝐱 ⟩ \\ 𝐞_{1} & 𝐞_{2} & \dots & 𝐞_{n} & 𝐱 \end{matrix} |

и квадрат его модуля равен

| 𝐧 |^{2} = ⟨ 𝐧, 𝐱 ⟩ = \frac{Γ (𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n}, 𝐱)}{Γ (𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n})} .

Из этой формулы индукцией по $n$ получается следующее утверждение:

Определитель Грама системы $n$ векторов равен квадрату объёма $n$ -мерного параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.

См. также

Процесс Грама ― Шмидта

Шаблон:Нет иллюстрации Шаблон:Нет ссылок

Определитель Грама

Геометрический смысл определителя Грама

См. также

Навигация

Поиск