Группа Шрёдингера

Группа Шрёдингера — это группа симметрии конфигурационного пространства уравнения Шрёдингера. Её образуют преобразования, отображающие физически эквивалентные точки конфигурационного пространства друг в друга. Группа Шрёдингера может быть определена из общих физических соображений. В неё входят: преобразование, осуществляющее перестановку электронов; преобразование, осуществляющее вращение системы координат; преобразование ГалилеяШаблон:Sfn.

Для группы Шрёдингера уравнения Шрёдингера свободной частицы вида:

$i\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}-\frac{1}{2M}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }=0$

при преобразовании Галилея вида:

$q\to q^{\prime }=Rq+Vt+a$

и

$t\to t^{\prime }=t+b$

может быть получена алгебра Шрёдингера.

Алгебра Шрёдингера

Алгебра Шрёдингера это алгебра Ли группы Шрёдингера.

Она содержит алгебру Галилея с центральным расширением.

$[J_i,J_j]=i{ϵ}_{ijk}{J}_k,$

$[J_i,P_j]=i{ϵ}_{ijk}{P}_k,$

$[J_i,K_j]=i{ϵ}_{ijk}{K}_k,$

$[P_i,P_j]=0,[K_i,K_j]=0,[K_i,P_j]=i{\delta }_{ij}M,$

$[H,J_i]=0,[H,P_i]=0,[H,K_i]=i{P}_i,$

$[H_i,H_j]=0.$Шаблон:Sfn

Тут

$J=L+S=\left[QP\right]+S=-i\left[P\frac{\partial }{\partial P}\right]+S$ — оператор полного момента количества движения, отвечающий вращениям $R$,

$P$ — оператор импульса, отвечающий смещению в пространстве на отрезок $a$,

$H$ — оператор энергии, отвечающий сдвигу начала отсчёта по временной шкале на $b$,

$K=iM\frac{\partial }{\partial P}+iP\frac{\partial }{\partial H}$ — оператор, отвечающий галилеевскому преобразованию $V$.Шаблон:Sfn

Центральное расширение M интерпретируется как нерелятивистская масса и соответствует симметрии уравнения Шрёдингера при фазовых преобразованиях (и отвечает сохранению вероятности).

Алгебра Шрёдингера имеет две инвариантные величины:Шаблон:Sfn

$P^2-2MH=2ME$ — здесь $E$ можно рассматривать как внутреннюю энергию.

${(MJ-\left[KP\right])}^2=M^2{S}^2=M^{2}s(s+1)$ — здесь $S$ можно рассматривать как внутренний момент количества движения частицы.

Ещё есть два генератора, которые мы обозначим $D$ и $C$. У них следующие коммутационные соотношения:

$[H,C]=iD,[C,D]=-2iC,[H,D]=2iH,$

$[P_i,D]=i{P}_i,[K_i,D]=-i{K}_i,$

$[P_i,C]=-i{K}_i,[K_i,C]=0,$

$[J_i,C]=[J_i,D]=0.$

Генераторы $H$, $C$ и $D$ образуют алгебру $sl(2,R)$.

Роль группы Шрёдингера в математической физике

Хотя группа Шрёдингера и определяется как группа симметрии свободного уравнения Шрёдингера, она реализуется в некоторых нерелятивистских системах с взаимодействием (к примеру, холодные атомы в критической точке).

Группа Шрёдингера d пространственных размерностей может быть вложена в релятивистскую конформную группу в d+1 размерностях SO(2,d+2). Это вложение отвечает тому факту, что можно получить уравнение Шрёдингера из безмассового уравнения Клейна-Гордона с помощью компактификации Калуцы-Клейна.

Литература

• C. R. Hagen , Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory, Phys. Rev. D 5, 377—388 (1972)
• Arjun Bagchi, Rajesh Gopakumar, Galilean Conformal Algebras and AdS/CFT, JHEP 0907:037,2009
• D.T.Son, Toward an AdS/cold atoms correspondence: A geometric realization of the Schrödinger symmetry, Phys. Rev. D 78, 046003 (2008)
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Уравнение Шрёдингера
• Преобразования Галилея
• Группа Пуанкаре
• Теорема Баргмана