Группа автоморфизмов свободной группы

Группа автоморфизмов свободной группы — группа, образованная всеми групповыми автоморфизмами некоторой свободной группы $F_n$ конечного ранга $n$ относительно операции композиции. Является одним из центральных объектов изучения комбинаторной теории групп и обозначается символом $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(F_n)$.

Преобразования Нильсена

Пусть $F_n$ — свободная группа с базисом $\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$. Элементарными преобразованиями Нильсена называются автоморфизмы группы $F_n$ следующих типов:

• обмен некоторой пары образующих $x_i$ и $x_j$ местами;
• замена одной из образующих $x_i$ на обратную $x_i^{-1}$;
• замена одной из образующих $x_i$ на произведение $x_i{x}_j$, где $i\ne j$.

Данные автоморфизмы порождают группу $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(F_n)$Шаблон:Sfn.

Роль в теории кос

Автоморфизм $\phi$ свободной группы $F_n$ называется сплета́ющим (или косо́вым), если он удовлетворяет следующим условиям:

• найдется такая биекция $\mu :\{1,2,\dots ,n\}\to \{1,2,\dots ,n\}$, что для всех $k\in \{1,2,\dots ,n\}$ элемент $\phi (x_k)$ сопряжен в $F_n$ с элементом $x_{\mu (k)}$;
• $\phi (x_1{x}_2\dots x_n)=x_1{x}_2\dots x_n$.

Множество ${\hat{B}}_n$ всех сплетающих автоморфизмов группы $F_n$ является подгруппой группы $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(F_n)$ всех автоморфизмов:

${\hat{B}}_n<\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(F_n)$

Определим серию обратных друг к другу сплетающих автоморфизмов ${\hat{\sigma }}_1,{\hat{\sigma }}_2,\dots ,{\hat{\sigma }}_{n-1}$ и ${\hat{\sigma }}_1^{-1},{\hat{\sigma }}_2^{-1},\dots ,{\hat{\sigma }}_{n-1}^{-1}$ правилом

${\hat{\sigma }}_i(x_k):=\{\begin{array}{cc}{x}_{k+1},& k=i,\\ x_k^{-1}{x}_{k-1}{x}_k,& k=i+1,\\ x_k,& k\in \{1,\dots ,n\}\setminus \{i,i+1\},\end{array}$

${\hat{\sigma }}_i^{-1}(x_k):=\{\begin{array}{cc}{x}_k{x}_{k+1}{x}_k^{-1},& k=i,\\ x_{k-1},& k=i+1,\\ x_k,& k\in \{1,\dots ,n\}\setminus \{i,i+1\}.\end{array}$

Гомоморфизм $B_n\to {\hat{B}}_n$ из группы кос в группу сплетающих автоморфизмов, заданный на образующих Артина правилом ${\sigma }_i\mapsto \hat{\sigma }$, является изоморфизмомШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга