Группа перестановок ранга 3

Группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на множестве так, что стабилизатор точки имеет 3 орбиты. Изучение этих групп начал Дональд ХигманШаблон:SfnШаблон:Sfn. Некоторые спорадические простые группы были открыты как группы перестановок ранга 3.

Классификация

Примитивные группы перестановок ранга 3 распадаются на следующие классы:

• КамеронШаблон:Sfn классифицировал группы, такие, что $T\times T⩽G⩽T_0\mathrm{wr}Z/2Z$, где цоколь T группы T₀ прост, а T₀ является 2-транзитивной группой степени $\sqrt{n}$.
• ЛибекШаблон:Sfn классифицировал группы с регулярными элементарными абелевыми нормальными подгруппами
• БаннайШаблон:Sfn классифицировал группы, цоколь которых является простой знакопеременной группой
• КанторШаблон:Sfn классифицировал группы, цоколь которых является простой классической группой
• Либек и СакслШаблон:Sfn классифицировали группы, цоколь которых является простой классической исключительной или спорадической группой

Пример

Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S, то её действие на пары элементов S является группой перестановок ранга 3. В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и групп Матьё имеют 4-транзитивные действия, а потому принадлежат группам перестановок ранга 3.

Проективная полная линейная группа, действующая на прямые в проективном пространстве размерности как минимум 3, является группой перестановок ранга 3.

Некоторые Шаблон:Не переведено 5 являются группами перестановок ранга 3 (по действию на перестановки).

Как правило, точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одну из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это даёт некоторые «цепочки» групп перестановок ранга 3, такие как Шаблон:Не переведено 5 и цепочка, завершающаяся группами Фишера.

Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 перечислены ниже (многие из них взяты из работы Либека и СакслаШаблон:Sfn).

Для каждой строки таблицы ниже, в столбце «размер» число слева от знака равно показателю группы перестановок перестановочной группы для группы перестановок, упомянутой в строке. Сумма справа от знака равно показывает длину трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы означает, что группа перестановок имеет показатель 15 и длины трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок равны 1, 6 и 8 соответственно.

Группа	Стабилизатор точки	размер	Комментарии
${\mathrm{A}}_6={\mathrm{L}}_2(9)=$ ${\mathrm{S}\mathrm{p}}_4(2{)}^{\prime }={\mathrm{M}}_1{0}^{\prime }$	${\mathrm{S}}_4$	15 = 1+6+8	Пары точек или множества из 3 блоков по 2 в 6-точечном представлением перестановок; два класса
${\mathrm{A}}_9$	${\mathrm{L}}_2(8):3$	120 = 1+56+63	Проективная прямая P1(8); два класса
${\mathrm{A}}_{10}$	$({\mathrm{A}}_5\times {\mathrm{A}}_5):4$	126 = 1+25+100	Множество 2 блоков из 5 в естественном 10-точечном представлении перестановок
${\mathrm{L}}_2(8)$	$7:2=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{h}(7)$	36 = 1+14+21	Пары точек в P1(8)
${\mathrm{L}}_3(4)$	${\mathrm{A}}_6$	56 = 1+10+45	Гиперовалы в P2(4); три класса
${\mathrm{L}}_4(3)$	${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{p}}_4(3):2$	117 = 1+36+80	Симплектические полярности P3(3); два класса
${\mathrm{G}}_2(2{)}^{\prime }={\mathrm{U}}_3(3)$	${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_3(2)$	36 = 1+14+21	Шаблон:Не переведено 5
${\mathrm{U}}_3(5)$	${\mathrm{A}}_7$	50 = 1+7+42	Действие на вершины графа Хоффмана — Синглтона; три класса
${\mathrm{U}}_4(3)$	${\mathrm{L}}_3(4)$	162 = 1+56+105	Два класса
${\mathrm{S}\mathrm{p}}_6(2)$	${\mathrm{G}}_2(2)={\mathrm{U}}_3(3):2$	120 = 1+56+63	Группа Шевалле типа G2, действующая на алгебру октонионов над GF(2)
${\mathrm{\Omega }}_7(3)$	${\mathrm{G}}_2(3)$	1080 = 1+351+728	Группа Шевалле типа G2, действующая на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF(3); два класса
${\mathrm{U}}_6(2)$	${\mathrm{U}}_4(3):2_2$	1408 = 1+567+840	Стабилизатор точки является образом линейного представления, получающегося от «понижения» комплексного представления группы Митчела (комплексной группы отражений) по модулю 2; три класса
M11	${\mathrm{M}}_9:2=3^2:{\mathrm{S}\mathrm{D}}_{16}$	55 = 1+18+36	Пары точек в 11-точечном представлении перестановок
M12	${\mathrm{M}}_{10}:2={\mathrm{A}}_6.2^2=$ $\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }\mathrm{L}(2,9)$	66 = 1+20+45	Пары точек или пары комплементарных блоков S(5,6,12) в 12-точечном представлении перестановок; два класса
M22	24:A6	77 = 1+16+60	Блоки S(3,6,22)
J2	${\mathrm{U}}_3(3)$	100 = 1+36+63	Шаблон:Не переведено 5; действие на вершины графа Холла — Янко
Шаблон:Не переведено 5	M22	100 = 1+22+77	Действие на вершины графа Хигмана — Симса
M22	${\mathrm{A}}_7$	176 = 1+70+105	Два класса
M23	${\mathrm{M}}_{21}:$ $2={\mathrm{L}}_3(4):2_2$ $=\mathrm{P}\mathrm{\Sigma }\mathrm{L}(3,4)$	253 = 1+42+210	Пары точек в 23-точечном представлении перестановок
M23	$2^4:{\mathrm{A}}_7$	253 = 1+112+140	Блоки S(4,7,23)
Шаблон:Не переведено 5	${\mathrm{U}}_4(3)$	275 = 1+112+162	Действие на вершины Шаблон:Не переведено 5
M24	${\mathrm{M}}_{22}:2$	276 = 1+44+231	Пары точек в 24-точечном представлении перестановок
G2(3)	${\mathrm{U}}_3(3):2$	351 = 1+126+244	Два класса
G2(4)	J2	416 = 1+100+315	Шаблон:Не переведено 5
M24	${\mathrm{M}}_{12}:2$	1288 = 1+495+792	Пары комплементарных 12-точечных множеств в 24-точечном представлении перестановок
Шаблон:Не переведено 5	${\mathrm{G}}_2(4)$	1782 = 1+416+1365	Шаблон:Не переведено 5
G2(4)	${\mathrm{U}}_3(4):2$	2016 = 1+975+1040
Шаблон:Не переведено 5	${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{U}}_6(2):2$	2300 = 1+891+1408
Группа Рудвалиса Ru	2F4(2)	4060 = 1+1755+2304
Шаблон:Не переведено 5	$2.{\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{U}}_6(2)$	3510 = 1+693+2816	Шаблон:Не переведено 5
Шаблон:Не переведено 5	${\mathrm{\Omega }}_7(3)$	14080 = 1+3159+10920	Два класса
Шаблон:Не переведено 5	2.Fi22	31671 = 1+3510+28160	Шаблон:Не переведено 5
${\mathrm{G}}_2(8).3$	${\mathrm{S}\mathrm{U}}_3(8).6$	130816 = 1+32319+98496
Шаблон:Не переведено 5	${\mathrm{P}\mathrm{\Omega }}_8^{+}(3).{\mathrm{S}}_3$	137632 = 1+28431+109200
Шаблон:Не переведено 5 '	Fi23	306936 = 1+31671+275264	Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:СтатьяШаблон:Недоступная ссылка