Дельтоидальный икоситетраэдр

Дельтоида́льный икоситетра́эдр (от «дельтоид» и Шаблон:Lang-grc — «двадцать», Шаблон:Lang-grc2 — «четыре», Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), также называемый тетрагонтриокта́эдром (от Шаблон:Lang-grc — «четыре», Шаблон:Lang-grc2 — «угол», Шаблон:Lang-grc2 — «три», Шаблон:Lang-grc2 — «восемь» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбокубооктаэдру.

Составлен из 24 одинаковых выпуклых дельтоидов.

Имеет 26 вершин. В 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся по 3 грани своими тупыми углами; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся по 4 грани острыми углами, противоположными тупому; в остальных 12 вершинах (расположенных так же, как вершины кубооктаэдра) сходятся по 4 грани острыми углами, соседними с тупым.

• 
  8 вершин расположены так же, как вершины куба
• 
  6 вершин расположены так же, как вершины октаэдра
• 
  12 вершин расположены так же, как вершины кубооктаэдра

Имеет 48 рёбер — 24 «длинных» (вместе образующих нечто вроде «раздутого» остова октаэдра) и 24 «коротких» (образующих «раздутый» остов куба).

Дельтоидальный икоситетраэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла; гамильтонова пути для всех шести также нет.

Метрические характеристики и углы

Грань дельтоидального икоситетраэдра

Если «короткие» рёбра дельтоидального икоситетраэдра имеют длину $b$, то его «длинные» рёбра имеют длину

$a=\frac{1}{2}(4-\sqrt{2})b\approx 1,2928932b.$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S=6\sqrt{29-2\sqrt{2}}{b}^2\approx 30,6948957b^2,$

$V=\sqrt{122+71\sqrt{2}}{b}^3\approx 14,9133887b^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их центрах вписанных окружностей) при этом будет равен

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{17}(78+47\sqrt{2})}b\approx 1,4575767b,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{1}{4}(2+3\sqrt{2})b\approx 1,5606602b,$

радиус окружности, вписанной в грань —

$r_{\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}=\sqrt{{\rho }^2-r^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{34}(31+8\sqrt{2})}b\approx 0,5577905b,$

бо́льшая диагональ грани (делящая грань на два равнобедренных треугольника) —

$e=\frac{1}{2}\sqrt{10+\sqrt{2}}b\approx 1,6892464b,$

меньшая диагональ грани (делящая грань на два равных треугольника) —

$f=\frac{1}{2}\sqrt{12-2\sqrt{2}}b\approx 1,5142302b.$

Описать около дельтоидального икоситетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Тупой угол грани (между двумя «короткими» сторонами) равен $\arccos (-\frac{2+\sqrt{2}}{8})\approx 115,26^{\circ };$ три острых угла грани равны $\arccos \frac{2-\sqrt{2}}{4}\approx 81,58^{\circ }.$

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (-\frac{7+4\sqrt{2}}{17})\approx 138,12^{\circ }.$

В природе и культуре

В форме дельтоидального икоситетраэдра встречаются кристаллы анальцима, лейцита, а так же некоторых разновидностей граната: спессартина, андрадита.

• 
  Анальцим
• 
  Лейцит
• 
  Спессартин

Дельтоидальный икоситетраэдр играет важную роль в рассказе Говарда Лавкрафта «Обитающий во Тьме», где фигурирует под принятым в кристаллографии названием «trapezohedron». В стереометрии словом «трапецоэдр» обозначается другой многогранник.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld