Дираковская потенциальная гребёнка

Шаблон:См. также Дираковская потенциальная гребёнка, в квантовой механике, периодический потенциал, образованный последовательностью δ-функций Дирака.

U (x) = \frac{ℏ^{2}}{m} Ω \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (x + n a),

где a — интервал между соседними сингулярными точками. Это простейшая модель, в которой возникает зонная структура спектра.

Уравнение Шрёдингера с потенциалом в виде дираковской потенциальной гребёнки

Уравнение Шрёдингера принимает вид

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} Ψ^{″} (x) + \frac{ℏ^{2}}{m} Ω \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (x + n a) Ψ (x) = E Ψ (x) .

Вводя обозначение $k = \sqrt{2 m E / ℏ^{2}}$ , получим:

Ψ^{″} (x) + (k^{2} - 2 Ω \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (x + n a)) Ψ (x) = 0 .

В интервале $0 < x < a$ уравнение принимает вид:

Ψ^{″} (x) + k^{2} Ψ (x) = 0

и его общее решение равно

Ψ (x) = C_{1} e^{i k x} + C_{2} e^{- i k x} .

Так как потенциал периодический, то в интервале $a < x < 2 a$ решение имеет вид

Ψ (x) = e^{i K a} (C_{1} e^{i k (x - a)} + C_{2} e^{- i k (x - a)}) .

Условие непрерывности волновой функции

Ψ (a + 0) = Ψ (a - 0) .

Интегрируя уравнение Шрёдингера в окрестности точки $x = a$ , получим условие сшивки для производных:

Ψ^{'} (a + 0) = Ψ^{'} (a - 0) + 2 Ω Ψ (a) .

Учитывая эти условия, имеем:

e^{i K a} (A + B) = A e^{i k a} + B e^{- i k a},

i k e^{i K a} (A - B) = i k (A e^{i k a} - B e^{- i k a}) + 2 Ω (A e^{i k a} + B e^{- i k a}) .

Данное уравнение имеет нетривиальные решения при

\cos K a = \cos k a + \frac{Ω}{k} \sin k a .

Из этого следует, что зоны разрешённых значений энергии определяются неравенством

| \cos k a + \frac{Ω}{k} \sin k a | ⩽ 1 .

Соответствующий спектр энергий:

E = \frac{ℏ^{2}}{2 m a^{2}} (k a)^{2} .