Частица в периодическом потенциале

В квантовой механике задача о части́це в одноме́рном периоди́ческом потенциа́ле — идеализированная задача, которая может быть решена аналитически (для некоторых потенциальных полей специального вида), без упрощений. При решении предполагается, что функция потенциала задана на всем бесконечном пространстве и периодична, то есть обладает трансляционной симметрией, что, вообще говоря, не выполняется для реальных кристаллов, где всегда существует как минимум один дефект — поверхность кристалла (это приводит к другой задаче о поверхностных состояниях или таммовских уровнях).

Общий вид спектра

Периодическая задача

Рассмотрим одномерную решётку ионов, расстояние между которыми $a$. Потенциал при этом будет периодическим. Рассмотрим сначала идеализированный случай бесконечного кристалла. Уравнение Шрёдингера имеет вид:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi (x)}{\partial x^2}+V_a(x)\psi (x)=E\psi (x)$

с периодическим потенциалом вида $V_a(x)=V_a(x+a).$ Спектр определяется как множество тех энергий, при которых уравнение имеет решения, ограниченные (не стремящиеся к нулю или бесконечности) на всей вещественной оси. Уравнение Шрёдингера имеет второй порядок, соответственно пространство решений является двумерным. Пусть ${\psi }_{1,2}$ — линейно независимые решения уравнения. Тогда при сдвиге на период, в силу периодичности задачи, они преобразуются через друг друга:

$\left(\begin{array}{c}{\psi }_1(x+a)\\ {\psi }_2(x+a)\end{array}\right)=\mathrm{T}\left(\begin{array}{c}{\psi }_1(x)\\ {\psi }_2(x)\end{array}\right),$

где $\mathrm{T}$ — некоторая матрица (матрица монодромии).

Рассматривая вронскиан, можно показать, что $\mathrm{T}$ унитарна и $\det \mathrm{T}=1$. Отсюда следует, что в некотором базисе она имеет вид:

$\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{\mathrm{i}ka}& 0\\ 0& e^{-\mathrm{i}ka}\end{array}\right).$

Отсюда следует теорема Блоха: соответствующие собственные функции имеют вид:

${\psi }_{1,2}(x)=e^{\mathrm{i}kx}{\varphi }_{1,2}(x),$

где ${\varphi }_{1,2}(x)$ — периодические функции.

Заметим, что пока что $k\in ℂ$. Очевидно, что спектру соответствуют $k\in ℝ,$ что с учётом унитарности равносильно условию на след матрицы монодромии:

$\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{T}=2\cos (kx)\in [-2;2].$

Можно показать, что $\mathrm{T}\mathrm{r}(\mathrm{T})(E)$ есть гладкая функция.

Отсюда следует зонная структура спектра: для частицы в периодическом потенциале допустимые уровни энергии — это некоторое, обычно бесконечное, множество отрезков на вещественной оси. Для потенциала общего вида спектр не имеет изолированных точек, при малом изменении потенциала они либо исчезают, либо превращаются в зоны с малой шириной. Заметим, что крайние отрезки спектра в принципе могут быть неограниченны, при этом все уровни энергии, начиная с некоторого, являются допустимыми, а полное число зон конечно (см. конечнозонное интегрирование). В подобной постановке задача допускает полное и простое решение в тэта-функциях.

Величину $k$ называют квазиимпульсом, по аналогии с волновым числом волновой функции $e^{\mathrm{i}kx}$ для частицы с определённым импульсом $k.$ Как видно, волновая функция полностью определяется величиной $k$ и значениямии функции на отрезке длиной $a.$

Аналогично возникают энергетические зоны в решётках более высоких размерностей.

Влияние границ кристалла

В реальном кристалле число допустимых состояний очень велико. Приводящее к этому дополнительное ограничение на величину квазиимпульса возникает из граничных условий на волновую функцию на поверхности кристалла. При этом вместо непрерывных зон возникают области с плотно расположенными дискретными уровнями энергии (разрешённые зоны) и области, в которых разрешённых состояний вообще нет (запрещённые зоны). Оценим расстояние между уровнями энергии в разрешённых зонах.

Вместо рассмотрения допустимых уровней энергии (для этого потребовалась бы дополнительная информация, вроде дисперсионного соотношения и точной структуры кристалла) рассмотрим допустимые значения квазиимпульса. При рассмотрении изолированного кристалла обычно рассматриваются периодические граничные условия на волновую функцию. Это предположение оправдано, так как точные граничные условия в реальном кристалле состоят в занулении волновой функции электронов на его границе. Для одномерного кристалла это означает чётность волновой функции (0 находится в центре кристалла). Если же влияние границ на волновую функцию мало́, то приближённо можно забыть про точное значение волновой функции на границе, сохранив лишь свойство симметрии — чётность.

Рассмотрим одномерный кристалл длины $L$. Граничное условие имеет вид:

$\psi (0)=\psi (L).$

С учётом теоремы Блоха отсюда следует, что:

$kL=2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$

Таким образом, расстояние между соседними допустимыми значениями квазиимпульса равно:

$\mathrm{\Delta }k=\frac{2\pi n}{L}.$

Аналогично, в общем случае, для кубической кристаллической решётки:

$\mathrm{\Delta }{k}_{x,y,z}=\frac{2\pi n}{L_{x,y,z}}.$

Модель Кронига — Пенни

Периодический потенциал с периодом $a$ и шириной прямоугольной потенциальной ямы $b$

Для упрощения задачи потенциал аппроксимируют прямоугольной функцией используя теорему Блоха. При этом находят волновую функцию во всём пространстве, но сначала исследуют решение для неё на одном периоде, и делают его гладким на границах периодов, то есть «сшивают» значения функций в соседних периодах и их производных.

Рассмотрим один период потенциала:
У нас есть две независимых области для которых мы найдём решения:

$0<x<a-b:\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\psi }_{xx}=E\psi \Rightarrow \psi =A{e}^{i\alpha x}+A^{\prime }{e}^{-i\alpha x}({\alpha }^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2})$

$-b<x<0:\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\psi }_{xx}=(E+V_0)\psi \Rightarrow \psi =B{e}^{i\beta x}+B^{\prime }{e}^{-i\beta x}({\beta }^2=\frac{2m(E+V_0)}{{\hslash }^2}).$

Для нахождения $u(x)$ в каждой области нужно проделать следующие преобразования:

$\psi (0<x<a-b)=A{e}^{i\alpha x}+A^{\prime }{e}^{-i\alpha x}=e^{ikx}\cdot (A{e}^{i(\alpha -k)x}+A^{\prime }{e}^{-i(\alpha +k)x})$

$\Rightarrow u(0<x<a-b)=A{e}^{i(\alpha -k)x}+A^{\prime }{e}^{-i(\alpha +k)x}.$

Аналогично получим:

$u(-b<x<0)=B{e}^{i(\beta -k)x}+B^{\prime }{e}^{-i(\beta +k)x}.$

Чтобы найти полное решение, надо убедиться в гладкости искомой функции на границах:

$\psi (0^{-})=\psi (0^{+}){\psi }^{\prime }(0^{-})={\psi }^{\prime }(0^{+})$

и периодичности $u(x)$ и $u^{\prime }(x):$

$u(-b)=u(a-b)u^{\prime }(-b)=u^{\prime }(a-b).$

Эти условия порождают следующую матрицу:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\\ \alpha & -\alpha & -\beta & \beta \\ e^{i(\alpha -k)(a-b)}& e^{-i(\alpha +k)(a-b)}& -e^{-i(\beta -k)b}& -e^{i(\beta +k)b}\\ (\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}& -(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}& -(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}& (\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\ A^{\prime }\\ B\\ B^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Для существования нетривиального решения необходимо чтобы детерминант этой матрицы был равен нулю. После некоторых преобразований получаем:

$\cos (ka)=\cos (\beta b)\cos [\alpha (a-b)]-\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2\alpha \beta }\sin (\beta b)\sin [\alpha (a-b)].(*)$

Для дальнейшего упрощения выполним следующие преобразования, смысл которых заключается в переходе к дельта-образным потенциалам (типа дираковская гребёнка):

$b\to 0;V_0\to \mathrm{\infty };V_{0}b=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}.$

$\Rightarrow \beta b\to 0;{\beta }^{2}b=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t};{\alpha }^{2}b\to 0;\sin (\beta b)\to \beta b;\cos (\beta b)\to 1.$

Тогда конечный ответ будет:

$\cos (ka)=\cos (\alpha a)-P\frac{\sin (\alpha a)}{\alpha a}(P=\frac{{\beta }^{2}ab}{2}).$

Программный код

Код для Maple

Следующий программный код написан на языке Maple (9.5). Представляет собой просто графическое решение $(*)$. Шаблон:Скрытый

На рисунках представлены графические решения уравнения (*).

Линии отвечают разрешённым значениям энергии. Существуют области по энергии, где ни при каких значениях волнового вектора невозможно существование электрона. Линии отвечают разрешённым значениям энергии. Показано движение закона дисперсии в зависимости от глубины потенциальной ямы. На правом рисунке видно, как при некотором значении потенциальной энергии возможно образование одномерного бесщелевого полупроводника.

Код для Scilab

Линии по-прежнему отвечают разрешённым значениям энергии. Синим изображено решение для модели Кронига-Пенни, красным — гребёнки Дирака при тех же значениях V₀b

Код ниже является фактически переводом предшествующей программы на язык Scilab, за тем исключением, что иллюстрирует также и случай перехода к гребёнке Дирака.

Код для Matlab

Код ниже является переводом предшествующей программы на язык Matlab. Шаблон:Скрытый

Ссылки

• Задачи по квантовой механике. Часть 1. Галицкий, Карнаков, Коган.
• 1-D periodic potential applet

Литература

• Шаблон:Статья