Теорема Блоха

Теорема Блоха — основная теорема физики твёрдого тела, устанавливающая вид волновой функции частицы, находящейся в периодическом потенциале. Названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха. В одномерном случае эту теорему часто называют теоремой Флоке. Сформулирована в 1928 году.

Формулировка

Строгая формулировка

Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(𝐫),$

где потенциал U(r) периодичен по всем векторам R решётки Бравэ, могут быть выбраны таким образом, чтобы их волновые функции имели форму плоской волны, умноженной на функцию, обладающую той же периодичностью, что и решётка Бравэ:

${\psi }_{n𝐤}=e^{i𝐤𝐫}{u}_{n𝐤}(𝐫),$

где

$u_{n𝐤}(𝐫+𝐑)=u_{n𝐤}(𝐫)$

для всех R, принадлежащих решётке Бравэ. Индекс n называют номером зоны. Его появление связано с тем, что при произвольном фиксированном волновом векторе частицы k, система может иметь много независимых собственных состояний.

Электронные волновые функции в виде $u_{n𝐤}(𝐫)=u_{n𝐤}(𝐫+𝐑)$называют функциями Блоха. Но при этом важно понимать, что, в отличие от функций Блоха, амплитуды ${\psi }_{n\mathbf{\text{k}}}=e^{i\mathbf{\text{k}}\mathbf{\text{r}}}{u}_{n\mathbf{\text{k}}}(\mathbf{\text{r}})$ не являются периодическими функциями, поскольку член $e^{i\mathbf{\text{k}}\mathbf{\text{r}}}$ описывает плоскую волну.

Пояснения к формулировке

В теореме рассматривается идеальный бесконечный кристалл. Это означает, что в нём отсутствуют дефекты и он обладает трансляционной симметрией. При дальнейшем построении теории, нарушения периодичности решётки обычно считаются малыми возмущениями. Кроме того, в реальном кристалле электроны взаимодействуют между собой, что должно отразиться на гамильтониане системы добавлением соответствующего члена. В формулировке теоремы, однако, используется приближение невзаимодействующих электронов, что позволяет рассматривать одночастичный гамильтониан.

Доказательство

Обозначим за T_R оператор трансляции произвольной функции на вектор R. В силу периодичности гамильтониана имеем:

${\hat{T}}_{𝐑}\hat{H}\psi =\hat{H}(𝐫+𝐑)\psi (𝐫+𝐑)=\hat{H}(𝐫)\psi (𝐫+𝐑)=\hat{H}{\hat{T}}_{𝐑}\psi .$

Таким образом, оператор трансляции на произвольный вектор решётки Бравэ коммутирует с гамильтонианом системы. Кроме того, операторы трансляции на произвольные два вектора коммутируют между собой:

${\hat{T}}_{𝐑}{\hat{T}}_{{𝐑}^{\prime }}\psi (𝐫)={\hat{T}}_{{𝐑}^{\prime }}{\hat{T}}_{𝐑}\psi (𝐫)=\psi (𝐫+𝐑+{𝐑}^{\prime })={\hat{T}}_{𝐑+{𝐑}^{\prime }}\psi (𝐫).$

Из фундаментальной теоремы квантовой механики следует, что в этом случае состояния гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы они одновременно являлись собственными состояниями всех операторов T_R:

$\hat{H}\psi =E\psi ,$

${\hat{T}}_{𝐑}\psi =c(𝐑)\psi .$

Собственные значения c(R) связаны между собой соотношением c(R)c(R')=c(R+R'), поскольку, с одной стороны:

${\hat{T}}_{𝐑}{\hat{T}}_{{𝐑}^{\prime }}\psi (𝐫)=c(𝐑){\hat{T}}_{{𝐑}^{\prime }}\psi (𝐫)=c(𝐑)c({𝐑}^{\prime })\psi ,$

с другой:

${\hat{T}}_{𝐑}{\hat{T}}_{{𝐑}^{\prime }}\psi ={\hat{T}}_{𝐑+{𝐑}^{\prime }}\psi =c(𝐑+{𝐑}^{\prime })\psi .$

Пусть a_i — три основных вектора решётки Бравэ. Мы всегда можем представить с(a_i) в виде

$c({𝐚}_i)=e^{2\pi 𝐢{𝐱}_i}.$

Для произвольного вектора R = n₁a₁+n₂a₂+n₃a₃ справедливо равенство:

$c(𝐑)=c({𝐚}_1{)}^{n_1}*c({𝐚}_2{)}^{n_2}*c({𝐚}_3{)}^{n_3},$

эквивалентное равенству $c(𝐑)=e^{i𝐤𝐑}$, где $𝐤=x_1{𝐛}_1+x_2{𝐛}_2+x_3{𝐛}_3,$ где b_i — вектора обратной решётки, удовлетворяющие соотношению

${𝐛}_i{𝐚}_j=2\pi {\delta }_{ij}.$

Итак, собственные состояния ψ гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы для каждого вектора R решётки Бравэ выполнялось равенство:

${\hat{T}}_{𝐑}\psi (𝐫)=\psi (𝐫+𝐑)=c(𝐑)\psi (𝐫)=e^{i𝐤𝐑}\psi (𝐫),$

что в точности соответствует утверждению теоремы.

См. также

• Блоховская волна
• Частица в периодическом потенциале
• Одноэлектронное приближение

Литература

• Н. Ашкрофт, Н. Мермин. Физика твёрдого тела. Том 1. Глава 8.