Дифференциальное включение (математика)

Дифференциальное включение — обобщение понятия дифференциального уравнения:

$\frac{dx}{dt}\in F(t,x),(*)$

где правая часть (*) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой паре переменных $t\in ℝ$ и $x\in {ℝ}^n$ непустое компактное множество $F(t,x)$ в пространстве ${ℝ}^n.$ Решением дифференциального включения (*) обычно называют абсолютно непрерывную функцию $x(t),$ которая удовлетворяет данному включению при почти всех значениях $t.$ Такое определение решения связано, прежде всего, с приложениями дифференциальных включений в теории управления.

Зарождение теории дифференциальных включений связывают обычно с именами французского математика Маршо (Marchaud) и польского математика Станислава Заремба (работы середины 1930-х годов), однако широкий интерес к ним возник только после открытия принципа максимума Понтрягина и связанным с ним интенсивным развитием теории оптимального управления. Дифференциальные включения используются также как инструмент исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (А. Ф. Филиппов) и в теории дифференциальных игр (Н. Н. Красовский).

Связь дифференциальных включений с управляемыми системами

Рассмотрим управляемую систему

$\frac{dx}{dt}=f(t,x,u),u(t)\in U,(**)$

где $U\subset {ℝ}^m$ есть некоторое компактное подмножество. Систему (**) можно записать в виде дифференциального включения (*), положив $F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u):\mathrm{\forall }u\in U\}$. При довольно общих предположениях управляемая система (**) эквивалентна дифференциальному включению (*), т.е. для любого решения $x(t)$ включения (*) существует такое допустимое управление $u(t)\in U,$ что функция $x(t)$ будет являться траекторией системы (**) с этим управлением. Это утверждение называется леммой А.Ф. Филиппова.

Связанные понятия

Контингенция (контингентная производная) и паратингенция — обобщения понятия производной, введённые в 1930-х годах.

Контингенцией вектор-функции $x(t)$ в точке $t_0$ называется множество $\text{Cont}x(t_0)$ всех предельных точек последовательностей

$\frac{x(t_i)-x(t_0)}{t_i-t_0},t_i\to t_0,i=1,2,\dots$

Паратингенцией вектор-функции $x(t)$ в точке $t_0$ называется множество $\text{Parat}x(t_0)$ всех предельных точек последовательностей

$\frac{x(t_i)-x(t_j)}{t_i-t_j},t_i\to t_0,t_j\to t_0,i,j=1,2,\dots$

Контингенция и паратингенция представляют собой примеры многозначных отображений. Например, для функции $x(t)=|t|$ в точке $t_0=0$ множество $\text{Cont}x(0)$ состоит из двух точек: $\pm 1,$ а множество $\text{Parat}x(0)$ является отрезком $[-1,+1].$

Вообще, всегда $\text{Cont}\subset \text{Parat}$. Если существует обычная производная $x^{\prime }(t_0),$ то $\text{Cont}x(t_0)=x^{\prime }(t_0),$ а если обычная производная $x^{\prime }(t)$ существует в некоторой окрестности точки $t_0$ и непрерывна в самой этой точке, то $\text{Cont}x(t_0)=\text{Parat}x(t_0)=x^{\prime }(t_0)$.

Литература

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• А. Ф. Филиппов. О некоторых вопросах оптимального регулирования. — Вестник МГУ, Матем. и мех., N2 (1959).
• Шаблон:Книга
• A. Cellina. A VIEW ON DIFFERENTIAL INCLUSIONS, — Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino - Vol. 63, 3 (2005).