Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова

В математике, дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова является одним из основных обобщений производной в дробном исчислении, которое позволяет брать производные нецелое число раз. Он был введён Шаблон:Нп1 в 1867 году и А. В. Летниковым в 1868 году.

Построение дифферинтеграла Грюнвальда — Летникова

Формулу для производной

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

можно применить рекурсивно для получения производных высших порядков. Например, для производной второго порядка получаем:

$f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}=$

$=\underset{h_1\to 0}{\lim }\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h_2\to 0}\frac{f(x+h_1+h_2)-f(x+h_1)}{h_2}-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h_2\to 0}\frac{f(x+h_2)-f(x)}{h_2}}{h_1}.$

Предполагая, что все приращения $h$ стремятся к нулю одинаково, данное выражение можно упростить:

$f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2},$

которое может быть строго обосновано посредством формулы конечных приращений. В общем случае, имеем (смотри биномиальные коэффициенты):

$d^{n}f(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h^n}\sum _{m=0}^n(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})f(x+(n-m)h).$

Формально, снимая ограничение, что $n$ — положительное число, естественно определить:

${𝔻}^{q}f(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h^q}\sum _{0⩽m<\mathrm{\infty }}(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{m})f(x+(q-m)h).$

Это и есть определение дифферинтеграла Грюнвальда — Летникова.

Другая запись

Определение также можно переписать проще, если ввести обозначение:

${\mathrm{\Delta }}_h^{q}f(x)=\sum _{0⩽m<\mathrm{\infty }}(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{m})f(x+(q-m)h).$

Тогда определение примет вид:

${𝔻}^{q}f(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{\Delta }}_h^{q}f(x)}{h^q}.$

Ссылки

• Oldham, K. and Spanier, J. The Fractional Calculus — Publisher: Academic Press, 1974. — 234 p. — ISBN 0-12-52555-0-0.