Длина свободного пробега

Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние $\lambda$, которое пролетает частица за время между двумя последовательными столкновениями.

Для каждой молекулы это расстояние различно, поэтому в кинетической теории газов под длиной свободного пробега обычно подразумевается средняя длина свободного пробега <$\lambda$>, которая является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.

Теория рассеяния

Слой мишени

Представим поток частиц, проходящих через мишень размером $L\times L$, и рассмотрим бесконечно тонкий слой этой мишени (см. рисунок). Красным здесь обозначены атомы, с которыми частицы падающего пучка могут столкнуться. Значение длины свободного пробега будет зависеть от характеристик этой системы. Если все частицы мишени покоятся, то выражение для длины свободного пробега будет выглядеть как:

$\ell =(\sigma n{)}^{-1},$

где Шаблон:Mvar — количество частиц мишени в единице объёма, а Шаблон:Mvar — эффективное сечение.

Площадь такого слоя Шаблон:Math, объём Шаблон:Math, и тогда количество неподвижных атомов в нём Шаблон:Math. Вероятность $dP$ рассеяния этим слоем одной частицы равна отношению части площади сечения, «перекрываемой» всеми рассеивающими частицами, ко всей площади сечения:

$dP=\frac{\sigma n{L}^{2}dx}{L^2}=n\sigma dx,$ где Шаблон:Mvar — площадь, или, более точно, сечение рассеяния одного атома.

Тогда уменьшение $dI$ интенсивности потока будет равно начальной интенсивности, умноженной на вероятность рассеяния частицы внутри мишени:

$dI=-In\sigma dx.$

Получаем дифференциальное уравнение

$\frac{dI}{dx}=-In\sigma =-\frac{I}{\ell },$

решение которого известно как закон закон Бугера и имеет вид $I=I_0{e}^{-x/\ell }$, где Шаблон:Mvar — расстояние, пройденное пучком, Шаблон:Math — интенсивность пучка до того, как он попал в мишень, а Шаблон:Mvar называется средней длиной свободного пробега, потому что она равна среднему расстоянию, пройденному частицей пучка до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратим внимание, что вероятность того, что частица будет рассеяна в слое от Шаблон:Mvar до Шаблон:Math, равна

$dP(x)=\frac{I(x)-I(x+dx)}{I_0}=\frac{1}{\ell }{e}^{-x/\ell }dx.$

И таким образом, среднее значение Шаблон:Mvar будет равно

$⟨x⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xdP(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{\ell }{e}^{-x/\ell }dx=\ell .$

Отношение части частиц, которые не рассеялись мишенью, к количеству, падающему на её поверхность, называется коэффициентом пропускания $T=I/I_0=e^{-x/\ell }$, где Шаблон:Math — толщина мишени

Кинетическая теория

В кинетической теории газов длина свободного пробега частицы (например, молекулы) — это среднее расстояние, которое проходит частица за время между столкновениями с другими движущимися частицами. В приведенном выше выводе предполагалось, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому формула $\ell =(n\sigma {)}^{-1}$, вообще говоря, справедлива только для падающих частиц со скоростями, высокими относительно скоростей совокупности таких же частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени будут незначительны, а относительная скорость примерно равна скорости частицы.

Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

$\overline{{𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}^2}=\overline{({𝐯}_1-{𝐯}_2{)}^2}=\overline{{𝐯}_1^2+{𝐯}_2^2-2{𝐯}_1\cdot {𝐯}_2}.$

В состоянии равновесия значения скоростей ${𝐯}_1$ и ${𝐯}_2$ случайны и независимы, поэтому $\overline{{𝐯}_1\cdot {𝐯}_2}=0$, а относительная скорость равна

$v_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\sqrt{\overline{{𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}^2}}=\sqrt{\overline{{𝐯}_1^2+{𝐯}_2^2}}=\sqrt{2}v.$

Это означает, что количество столкновений равно $\sqrt{2}$, умноженному на количество неподвижных целей. Следовательно, применимо следующее соотношение:

$\ell =(\sqrt{2}n\sigma {)}^{-1}$

Из закона Менделеева — Клапейрона $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ и с учётом $\sigma =\pi (2r{)}^2=\pi d^2$ (эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц радиусом $r$) можно показать, что длина свободного пробега равна

$\ell =\frac{k_{\text{B}}T}{\sqrt{2}\pi d^{2}p},$ где kШаблон:Sub — постоянная Больцмана.

На практике диаметр молекул газа не определён точно. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Как правило, молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на меньших, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса. Один из способов описать такие «мягкие» молекулы — использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ — предположить, что газ в модели твердых сфер имеет ту же вязкость, что и рассматриваемый реальный газ. Это приводит к средней длине свободного пробега

$\ell =\frac{\mu }{p}\sqrt{\frac{\pi k_{\text{B}}T}{2m}},$

где m — масса молекулы, а μ — вязкость. Это выражение можно удобно представить в следующем виде:

$\ell =\frac{\mu }{p}\sqrt{\frac{\pi R_{u}T}{2M}},$

где $R_u$ — универсальная газовая постоянная, а $M$ — молекулярная масса. Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега.

Формула

$\lambda =\frac{1}{\sqrt{2}\sigma n}$, где $\sigma$ — эффективное сечение молекулы, равное $\pi d^2$ ($d$ — эффективный диаметр молекулы), а $n$ — концентрация молекул.

Примеры

В следующей таблице приведены типичные значения длины свободного пробега молекул воздуха при комнатной температуре для различных давлений.

Диапазон давления	Давление, Па	Давление, мм.рт.ст.	Концентрация, молекул / см3	Концентрация, молекул / м3	Длина свободного пробега
Атмосферное давление	101300	759.8	2.7 × 1019	2.7 × 1025	68 нм
Низкий вакуум	30000 — 100	220 — 8×10−1	1019 — 1016	1025 — 1022	0.1 — 100 мкм
Средний вакуум	100 — 10−1	8×10−1 — 8×10−4	1016 — 1013	1022 — 1019	0.1 — 100 мм
Высокий вакуум	10−1 — 10−5	8×10−4 — 8×10−8	1013 — 109	1019 — 1015	10 см — 1 км
Сверхвысокий вакуум	10−5 — 10−10	8×10−8 — 8×10−13	109 — 104	1015 — 1010	1 км — 105 км
Экстремальный вакуум	<10−10	<8×10−13	<104	<1010	>105 км

См. также

• Вакуум
• Рассеяние частиц
• Физическая кинетика
• Вязкость

Ссылки

• Шаблон:Из