Додекаэдральное число

Додекаэдра́льное число́ — разновидность многогранных фигурных чисел, связанная с додекаэдром . Общая формулаШаблон:Sfn для $n$-го по порядку додекаэдрального числа $D_n$:

$D_n=n\frac{(3n-1)(3n-2)}{2}$

Первые из додекаэдральных чисел (Шаблон:OEIS):

$1,20,84,220,455,816,1330,2024,2925,4060\dots$

Рекуррентная формула:

$D_n=D_{n-1}+\frac{27n^2-45n+20}{2};D_1=1$

Производящая функция последовательности:

$\frac{x(1+16x+10x^2)}{(x-1{)}^4}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_n{x}^n;|x|<1$

Связь с тетраэдральными числами ${𝕋}_n$:

$D_n={𝕋}_n+16{𝕋}_{n-1}+10{𝕋}_{n-2}(n>2)$

Из общей формулы видно, что додекаэдральное число всегда составное (делится на $n$).

Литература

• Шаблон:Книга