Тетраэдральное число

Пирамида с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел

Тетраэдра́льные числа, называемые также треугольными пирамидальными числами — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник. $n$-е по порядку тетраэдра́льное число ${\mathrm{\Delta }}_n$ определяется как сумма $n$ первых треугольных чисел :

${\mathrm{\Delta }}_n=T_1+T_2+\dots +T_n$

Начало последовательности тетраэдральных чисел:

1, Шаблон:Nums, … (Шаблон:OEIS).

Формула

Общая формула для $n$-го тетраэдрального числа:

${\mathrm{\Delta }}_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.$

Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:

${\mathrm{\Delta }}_n=C_{n+2}^3=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3}).$

Свойства

Тетраэдральные числа находятся на 4-й позиции каждой строки в треугольнике Паскаля.

Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами:

${\mathrm{\Delta }}_1=1^2=1$,

${\mathrm{\Delta }}_2=2^2=4$,

${\mathrm{\Delta }}_{48}=140^2=19600$.

Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (Шаблон:OEIS):

${\mathrm{\Delta }}_1=T_1=1$,

${\mathrm{\Delta }}_3=T_4=10$,

${\mathrm{\Delta }}_6=T_{15}=120$,

${\mathrm{\Delta }}_{20}=T_{55}=1540$,

${\mathrm{\Delta }}_{34}=T_{119}=7140$,

Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.

Можно заметить, что:

${\mathrm{\Delta }}_5={\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2+{\mathrm{\Delta }}_3+{\mathrm{\Delta }}_4$

Ряд из обратных тетраэдральных чисел является телескопическим и поэтому сходится:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{6}{n(n+1)(n+2)}=\frac{3}{2}.$

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардовШаблон:Sfn.

Многомерное обобщение

Трёхмерные тетраэдральные числа можно обобщить на четыре и более измерений, аналогично переходу от треугольных чисел к тетраэдральным. Аналогом тетраэдральных чисел в $d$-мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральнымиШаблон:Sfn:

$S_n^{[d]}=\frac{(n-1+d)!}{(n-1)!d!}=\frac{\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)}{d!}.$.

Их частным случаем выступают:

• $S_n^{[2]}$ — треугольные числа.
• $S_n^{[3]}$ — тетраэдральные числа.
• $S_n^{[4]}$ — пентатопные числа.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Фигурные числа
• Шаблон:MathWorld3
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
• On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà