Телескопический ряд

Телескопический ряд в математике — бесконечный ряд, чья сумма может быть легко получена, исходя из того, что при раскрытии скобок почти все слагаемые взаимно уничтожаются. Название дано по аналогии с трубой телескопа, который может уменьшить свою длину, сложившись несколько раз.

Самый известный пример такого ряда — сумма обратных прямоугольных чисел: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$, которая упрощается следующим образом:

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\\ & =(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots =\\ & =1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots =1.\end{array}$

Суть телескопических сумм заключается в том, что каждое слагаемое ряда представляется в виде разности и поэтому частичная сумма ряда упрощается:

$\sum _{i=1}^n(a_i-a_{i+1})=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots +(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}$.

Аналогично можно представить себе «телескопическое» произведение, то есть бесконечное произведение вида:

$\prod _{i=1}^n\frac{a_{i+1}}{a_i}=\frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_4}{a_3}\cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_{n+1}}{a_1}$.

При суммировании условно сходящихся бесконечных рядов нужно обращать внимание, что перегруппировка слагаемых может привести к изменению результата (см. Теорема Римана об условно сходящихся рядах). Например, «парадокс» с рядом Гранди:

$0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-1)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1+1)=1$

Этого можно избежать, если всегда рассматривать сумму первых n членов, а потом найти предел при $n\to \mathrm{\infty }$.

Примеры

Многие тригонометрические функции позволяют представление в виде разности, что позволяет организовать взаимное уничтожение соответствующих слагаемых

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^N\sin \left(n\right)& =\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}\mathrm{cosec}\left(\frac{1}{2}\right)(2\sin \left(\frac{1}{2}\right)\sin \left(n\right))=\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{cosec}\left(\frac{1}{2}\right)\sum _{n=1}^N(\cos \left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos \left(\frac{2n+1}{2}\right))=\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{cosec}\left(\frac{1}{2}\right)(\cos \left(\frac{1}{2}\right)-\cos \left(\frac{2N+1}{2}\right)).\end{array}$

• частичная сумма геометрической прогрессии:

$(x-1)\sum _{k=0}^n{x}^k=\sum _{k=0}^n(x^{k+1}-x^k)=x^{n+1}-1.$

• иногда приходится применять «телескопическое» преобразование два раза:

$\begin{array}{cc}(x-1{)}^2\sum _{k=1}^{n}k{x}^{k-1}& =\sum _{k=1}^n(k{x}^{k+1}-2k{x}^k+k{x}^{k-1})=\\ & =\sum _{k=1}^n[k{x}^{k+1}-(k-1)x^k]-\sum _{k=1}^n[(k+1)x^k-k{x}^{k-1}]=n{x}^{n+1}-(n+1)x^n+1\end{array}$.

Другой метод вычисления этой суммы — представить слагаемые в виде производной от геометрической прогрессии:

$\sum _{k=1}^{n}k{x}^{k-1}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum _{k=0}^n{x}^k=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=\frac{(n+1)x^n(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{n{x}^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1{)}^2}$.

См. также

• Преобразование ряда по Эйлеру
• Дискретное преобразование Абеля
• Ускорение сходимости