Прямоугольное число

Прямоуго́льное число́ — число, которое является произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеет вид $R_n=n(n+1),$ где $n⩾1..$ В части источников также допускается случай $R_0=0;$ данная статья нумерует числа с 1, если не оговорено иное.

Значение прямоугольного числа имеет простой геометрический смысл — оно равно площади прямоугольника шириной $n+1$ и высотой $n.$ Поэтому многие источники относят прямоугольные числа к классу фигурных чисел, тем более что они тесно связаны с другими разновидностями чисел этого класса.

Начало последовательности прямоугольных чисел:

Шаблон:Nums, … (Шаблон:OEIS)

1×2	2×3	3×4	4×5

Свойства

Все прямоугольные числа чётны, поэтому все они, кроме числа 2, являются составными.

Среднее арифметическое двух последовательных прямоугольных чисел является квадратным числом:

$\frac{R_n+R_{n+1}}{2}=(n+1{)}^2$

Другими словами, между последовательными прямоугольными числами всегда содержится полный квадрат, причём только один (поскольку $n^2<R_n<(n+1{)}^2<R_{n+1}<(n+2{)}^2$).

Прямоугольное число 4×5 составлено из двух одинаковых треугольных чисел

$n$-е по порядку прямоугольное число равно удвоенному Шаблон:S треугольному числу и на $n$ больше Шаблон:S квадратного числа:

$R_n=2T_n=n^2+n$

Поскольку треугольное число $T_n=1+2+3+\dots +n,$ то вдвое большее прямоугольное число $R_n$ равно сумме первых $n$ чётных чисел.

Из того, что последовательные целые числа взаимно просты, следует:

• Каждый простой делитель прямоугольного числа может встретиться только в одном из множителей.
• Прямоугольные числа свободны от квадратов тогда и только тогда, когда свободны от квадратов как $n,$ так и $n+1.$
• Число различных простых делителей прямоугольного числа есть сумма числа различных простых делителей $n$ и $n+1.$
• $\lfloor \sqrt{n}\rfloor \cdot \lceil \sqrt{n}\rceil =n.$ Здесь уголки Айверсона$\lfloor x\rfloor$ округляют $x$ до целого в меньшую сторону, а $\lceil x\rceil$ — в бо́льшую.

Сумма $R_n+C_{n+1}^{(6)}$ есть квадратное число $(2n+1{)}^2,$ где $C_{n+1}^{(6)}$ обозначает Шаблон:S по порядку центрированное шестиугольное число.

Ряд из обратных прямоугольных чисел относится к категории телескопических рядов и поэтому сходится:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}=1.$

Применение

Прямоугольное число $R_n$ задаёт:

• число недиагональных элементов квадратной матрицы $n\times n$;
• число размещений из $n+1$ элементов по 2;
  • в частности, число рёбер, соединяющих (различные) вершины ориентированного графа с $(n+1)$ вершинами (например, общее число писем, которые могут отправить друг другу, по одному, $(n+1)$ абонент).

Если приписать к каждому прямоугольному числу, включая 0, справа 25, получится последовательность квадратов чисел, оканчивающихся на 5:

$025=5^2,225=15^2,625=25^2,1225=35^2,2025=45^2,3025=55^2,\dots$

Это следует из формулы:

$(10n+5{)}^2=100n(n+1)+25.$

Производящая функция

Производящая функция последовательности прямоугольных чиселШаблон:Sfn:

$\frac{2x}{(1-x{)}^3}=2x+6x^2+12x^3+20x^4+\dots$

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Ссылки

• Шаблон:H
• Oblong numbers на сайте Fun With Num3ers Шаблон:Ref-en.