Жезл (плоская кривая)

Кривая жезл

Жезл, литуус — плоская трансцендентная кривая, определяемая уравнением (в полярной системе координат):

$\rho =\frac{a}{\sqrt{\phi }}$

, где $\alpha$ — некоторая постоянная константа.

Представляет собой частный случай архимедовой спирали $\rho =\alpha {\varphi }^{1/n}$ при $n=-2$.

Вычисление кривизны спирали и угла наклона касательной совершаются по формулам:

$\kappa (\varphi )=(8{\varphi }^2-2)(\frac{\varphi }{1+4{\varphi }^2}{)}^{3/2}$

$\tau (\varphi )=\varphi -{\tan }^{-1}(2\varphi )$

Кривая стремится из бесконечности (где она асимптотически приближается к горизонтальной оси) к точке

$(0;0)$

, закручиваясь вокруг неё по спирали против часовой стрелки. Размер спирали определяется коэффициентом

$a$

. Имеет одну точку перегиба —

$(\frac{1}{2};a\sqrt{2})$

.

Кривая относится к алгебраическим спиралям.

История

Кривая была описана Роджером Котсом в сборнике работ под названием «Гармонические измерения» (Шаблон:Lang-la, 1722), опубликованном 6 лет спустя после его смерти. Котс назвал её литуусом — из-за сходства с жезлом древнеримских авгуров.

Ссылки

• Интерактивная визуализация кривой с помощью JSXGraph

см. также

Спираль