Зависящий от параметра интеграл

Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).

Зависящий от параметра собственный интеграл

Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область $\bar{G}=\{(x,y)|a\le x\le b,c\le y\le d\}$, на которой определена функция $f(x,y)$ двух переменных.

Пусть далее, $\mathrm{\forall }y\in [c;d]\mathrm{\exists }I\left(y\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx$.

Функция $I(y)$ и называется интегралом, зависящим от параметра.

Свойства интеграла, зависящего от параметра

Непрерывность

Пусть функция $f(x,y)$ непрерывна в области $\bar{G}$ как функция двух переменных. Тогда функция $I\left(y\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx$ непрерывна на отрезке $[c;d]$.

Дифференцирование под знаком интеграла

Пусть теперь на области $\bar{G}$ непрерывна не только функция $f(x,y)$, но и её частная производная $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$.

Тогда $\frac{d}{dy}I(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx$, или, что то же самое, $\frac{d}{dy}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx$

Интегрирование под знаком интеграла

Если функция $f(x,y)$ непрерывна в области $\bar{G}$, то

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}I(y)dy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx$, или, что то же самое:

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx)dy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx$ Шаблон:Hider