Задача Гурса

Зада́ча Гурса́ — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.

Историческая справка

Задача названа в честь математика Э. Гурса. В его широко известном «Курсе математического анализа» этой задаче посвящён отдельный параграф.

Постановка задачи

Пусть в области $\mathrm{\Omega }$ задано гиперболическое уравнение $u_{xy}=F(x,y,u,u_x,u_y)$ и краевое условие. Задача: найти регулярное в области $\mathrm{\Omega }$ и непрерывное в замыкании $\overline{\mathrm{\Omega }}$ решение по краевому условию.

В «Математической энциклопедии» краевое условие формулируется следующим образом:

$u(0,t)=\phi (t),u(t,1)=\psi (t),\phi (1)=\psi (0)$, где $\phi$ и $\psi$ — заданные непрерывно дифференцируемые функции.

В учебнике Тихонова, Самарского оно формулируется немного по-другому:

$u(x,0)={\phi }_1(x),u(0,y)={\phi }_2(y)$, где ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ удовлетворяют условиям сопряжения и дифференцируемости.

Нетрудно видеть, что это задача с данными на характеристиках уравнения. Эта задача примечательна тем, что для задания решения достаточно только двух функций (ср. с начально-краевой задачей).

В «Курсе» Гурса говорится о более общем случае.

$u(x,\pi (x))=\phi (x),u(\chi (y),y)=\psi (y)$

Решение

Существование решения

Если функция $F$ непрерывна для всех $(x,y)\in \overline{\mathrm{\Omega }}$ и для любых $u,p=u_x,q=u_y$ допускает производные $F_u,F_p,F_q$, которые по абсолютной величине меньше некоторого числа, то в области $\overline{\mathrm{\Omega }}$ существует единственное и устойчивое решение.

Метод Римана

Шаблон:Mainref Рассматривается линейный случай. Исходное уравнение принимает вид $Lu\equiv u_{xy}+a{u}_x+b{u}_y+cu=f$.

Вводится функция Римана $R(x,y;\xi ,\eta )$, которая однозначно определяется как решение уравнения

$R_{xy}-(aR{)}_x-(bR{)}_y+cR=0$,

удовлетворяющее условиям

$R(\xi ,y;\xi ,\eta )=\exp \underset{\eta }{\overset{y}{\int }}a(\xi ,t)dt$

$R(x,\eta ;\xi ,\eta )=\exp \underset{\xi }{\overset{x}{\int }}b(t,\eta )dt$

где $(\xi ,\eta )\in \mathrm{\Omega }$ — произвольная точка.

Решение задачи Гурса в линейном случае в «Энциклопедии» дается при $\phi =\psi \equiv 0$

$u(x,y)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}d\xi \underset{1}{\overset{y}{\int }}R(\xi ,\eta ;x,y)f(x,y)d\eta$

Метод последовательных приближений

Рассматривается два случая

1. $F(x,y,u,u_x,u_y)=f(x,y)$

Последовательно интегрируя исходное уравнение получаем аналитическую формулу

$u(x,y)={\phi }_1(x)+{\phi }_2(y)-{\phi }_1(0)+\underset{0}{\overset{y}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\eta )d\xi d\eta$

Из этой формулы следует существование и единственность решения данной задачи.

1. $F(x,y,u,u_x,u_y)=a{u}_x+b{u}_y+cu+f$

Исходное уравнение преобразуется к интегро-дифференциальному уравнению

$u(x,y)=\underset{0}{\overset{y}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}[a{u}_{\xi }+b{u}_{\eta }+cu]d\xi d\eta +{\phi }_1(x)+{\phi }_2(y)-{\phi }_1(0)+\underset{0}{\overset{y}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi ,\eta )d\xi d\eta$

Это уравнение решается методом последовательных приближений. Нулевое приближение $u_0(x,y)=0$ подставляется в интегро-дифференциальное уравнение. Результат принимается в качестве первого приближения, которое в свою очередь подставляется в интегро-дифференциальное уравнение и т. д. Таким образом получается бесконечная последовательность $\{u_n(x,y)\}$. Далее доказывается сходимость данной последовательности и находится её предел $u(x,y)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n(x,y)$. Этот предел и есть решение задачи.