Задача Римана о распаде произвольного разрыва

Задача Римана о распаде произвольного разрыва — задача о построении аналитического решения нестационарных уравнений механики сплошных сред, в применении к распаду произвольного разрыва. Полностью решена в ограниченном круге частных случаев — для уравнений газовой динамики идеального газа и некоторых более точных приближений (т. н. газ с двучленным уравнением состояния) и уравнений теории мелкой воды. Решение для уравнений магнитной газовой динамики построимо, по всей видимости, вплоть до необходимости численного решения одного достаточно сложного обыкновенного дифференциального уравнения.

Постановка

Решается одномерная задача о распаде разрыва — то есть полагается, что до начального момента времени $t=0$ две области пространства с различными значениями термодинамических параметров (для газовой динамики это плотность, скорость и давление газа) были разделены тонкой перегородкой, а в начальный момент времени перегородку убирают. Требуется построить решение (то есть зависимость всех термодинамических параметров от времени и координаты) при произвольных начальных значениях переменных.

Решение задачи о распаде произвольного разрыва состоит в определении газодинамического течения, возникающего при $t>0$. Другими словами, речь идет о решении задачи Коши для уравнений газовой динамики, в которой начальные условия заданы в виде описанного выше произвольного разрыва.

Решение

Решение задачи Римана для идеального изначально покоящего газа с показателем адиабаты $\gamma =5/3$ и относительным скачком давления и плотности ${\rho }_L/{\rho }_R=P_L/P_R=10$. По оси абсцисс отложена автомодельная переменная (безразмерная координата), по оси ординат — давление, плотность и скорость в относительных единицах. Слева направо: покоящийся газ, волна разрежения, контактный разрыв, ударная волна, покоящийся газ.

Оказывается, что для систем уравнений, записываемых в дивергентной форме, решение будет автомодельным.

Решение ищется в виде набора элементарных волн, определяющегося структурой системы уравнений. В частности, для газовой динамики это: ударная волна, волна разрежения, контактный разрыв. Приведём решение в явном виде для частного случая покоящегося идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$. Пусть в начальный момент давление $P$, плотность $\rho$ и скорость $v$ имеют вид:

	$x<0$	$x>0$
$v(x)$	$0$	$0$
$\rho (x)$	${\rho }_L$	${\rho }_R$
$P(x)$	$P_L$	$P_R$

и $P_L>P_R$ — волна идёт направо. Тогда в произвольный момент времени $t$ решение имеет вид

	$x<-c_{L}t$	$-c_{L}t<x<(v_2-c_2)t$	$(v_2-c_2)t<x<v_{2}t$	$v_{2}t<x<Dt$	$x>Dt$
	Невозмущённое вещество	Волна разрежения	Область между фронтом волны разрежения и контактным разрывом	Область между контактным разрывом и фронтом ударной волны	Невозмущённое вещество
$v(x)$	$0$	$v_2\frac{x+c_{L}t}{(v_2-c_2+c_L)t}$	$v_2$	$v_2$	$0$
$\rho (x)$	${\rho }_L$	${\rho }_L{(1-\frac{\gamma -1}{2}\frac{v(x)}{c_L})}^{\frac{2}{\gamma -1}}$	${\rho }_2$	${\rho }_1$	${\rho }_R$
$P(x)$	$P_L$	$P_L{(1-\frac{\gamma -1}{2}\frac{v(x)}{c_L})}^{\frac{2\gamma }{\gamma -1}}$	$P_2$	$P_2$	$P_R$

Здесь $c_L=\sqrt{\gamma P_L/{\rho }_L}$ — скорость звука в невозмущенной среде слева, $v_2$, $P_2$, ${\rho }_2$, $c_2=\sqrt{\gamma P_2/{\rho }_2}$ — параметры газа и скорость звука между фронтом ударной волны и контактным разрывом, $v_2$, $P_2$, ${\rho }_1$ — параметры газа между контактным разрывом и ударной волной, $D$ — скорость ударной волны. Эти пять параметров определяются из нелинейной системы уравнений, отвечающих законам сохранения энергии, массы и импульса:

${\rho }_1={\rho }_R\frac{D}{D-v_2}$

$D=\frac{P_2-P_R}{{\rho }_R{v}_2}$

$P_2=P_R\frac{(\gamma +1){\rho }_1-(\gamma -1){\rho }_R}{(\gamma +1){\rho }_R-(\gamma -1){\rho }_1}$

$\frac{P_L}{{\rho }_L^{\gamma }}=\frac{P_2}{{\rho }_2^{\gamma }}$

$v_2=\frac{2}{\gamma -1}(c_L-c_2)=\frac{2c_L}{\gamma -1}(1-{\left(\frac{{\rho }_2}{{\rho }_L}\right)}^{\frac{\gamma -1}{2}})$

Первые три уравнения здесь соответствуют соотношениям Гюгонио для идеального газа, четвёртое и пятое — соотношениям в волне разрежения.

Применение

Решение задачи Римана находит применение в численных методах при решении нестационарных задач с большими разрывами. Именно на решении (точном или приближенном) задачи Римана о распаде разрыва основывается метод Годунова решения систем нестационарных уравнений механики сплошной среды.