Задача Шепарда

Задача Шепарда — вопрос выпуклой геометрии о сравнении объёмов двух симметричных выпуклых тел при условии, что в любом направлении площадь проекции первого не превосходит площади проекции второго.

Вопрос был сформулирован Шаблон:Iw в 1964 году.

Ответ на этот вопрос — «да» в размерности 2 и «нет» в размерности 3 и выше. Последнее было доказано независимо Петти и Шнайдером в 1967 году.

Формулировка

Пусть $K$ и $L$ — два центрально-симметричных выпуклых тела в $n$-мерном евклидовом пространстве. Предположим, площадь ортогональной проекции $K$ на произвольную гиперплоскость $\mathrm{\Pi }$ не превышает площади ортогональной проекции $L$ на $\mathrm{\Pi }$. Верно ли, что объём $K$ не превышает объёма $L$?

См. также

• Задача Буземана — Петти

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Citation