Задача о покрытии полосками

Задача о покрытии полосками — классическая задача комбинаторной геометрии. В простейшем случае звучит так:

Доказать, что круг диаметра $d$ нельзя покрыть полосками с общей шириной меньше $d$.

Задача о покрытии полосками известна как пример задачи, в которой при решении удобно перейти к рассмотрению высших размерностей.

О доказательстве

В трёхмерном варианте задачи вместо полосок берутся области между параллельными плоскостями. Решение этого варианта задачи легко следует из того, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит только от его высоты. В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар.

Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай. Это решение было предложено Гуго Штейнгаузом.

Вариации и обобщения

• В 1932 году Тарский выдвинул гипотезу, что если выпуклую фигуру можно покрыть полосками с общей шириной 1, то её можно покрыть одной полоской ширины 1. Утвердительный ответ получен Тёгером Бангом в 1951 году.

• Следующий вариант задачи про относительную ширину полосок был предложен Бангом:

Предположим, выпуклое тело $K$ покрыто конечным числом полосок с ширинами $w_1,\dots ,w_n$, и $v_1,\dots ,v_n$ есть ширины $K$ в соответствующих направлениях. Доказать, что

$\frac{w_1}{v_1}+\dots +\frac{w_n}{v_n}\ge 1.$

См. также

• Теорема Монжа — другой классический пример утверждения в доказательстве которого полезно повысить размерность пространства.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation