Задача плоской деформации

Задача плоской деформации — ряд задач, рассматриваемых в теории упругости и теории пластичности. В ней рассматриваются вопросы, отличающиеся по содержанию, но объединенные математическим методом решения.

В задаче о плоской деформации рассматривается частное решение уравнений теории упругости, в котором перемещения $u,v$ предполагаются не зависящими от координаты $x_3=z$, тогда как $w$ не зависит от $x,y$, а его зависимость от $z$ может быть линейной:

$u=u(x,y),v=v(x,y),w=ez+w_0(1)$

Очевидным следствием этих предположений является отсутствие напряжений ${\tau }_{zx},{\tau }_{yz}$:

${\tau }_{zx}=\mu (\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})=0,{\tau }_{yz}=\mu (\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})=0$

и независимость от z остающихся компонент ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\tau }_{xy},{\sigma }_z$ тензора напряжений.

Плоская деформация реализуется, например, в призматическом теле, теоретически бесконечной длины, нагруженном поверхностными и объемными силами, перпендикулярными оси z. Тогда все поперечные сечения тела находятся в одинаковых условиях, чем оправдывается задание перемещений в форме (1). Это позволяет вместо рассмотрения всей области, занятой телом, ограничиться рассмотрением его элемента, выделенного двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми равно единице. Главный вектор и главный момент относительно оси $x_3$ внешних сил, приложенных к элементу, по условию должны обращаться в нуль. Исходя из равенств (1) и закона Гука, можно получить значения компонент тензора деформаций.