Изгибные волны

Изги́бные во́лны — упругие волны, представляющие собой распространяющиеся в стержнях и пластинках деформации изгиба. Строго говоря, изгибными называют только волны, длина волны которых много больше толщины стержня или пластинки. В случае, если длина изгибной волны сравнима с толщиной стержня или пластинки, характер её распространения становится значительно более сложным и такую волну уже не называют изгибной.

В стержне изгибные волны могут распространяться только вдоль его направления. В пластинках направление изгибных волн может быть произвольным в плоскости пластинки. При распространении изгибных волн отклонение частиц происходит в направлении, перпендикулярном направлению распространению, таким образом изгибные волны являются поперечными.

Математическое описание

Линейная изгибная волна описывается дифференциальным уравнением в частных производных четвёртого порядка вида

$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+E{R}^2\frac{{\partial }^{4}u}{\partial z^4}=0$

в случае стержня и

$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+\frac{E{h}^2}{12(1-{\sigma }^2)}{\mathrm{\Delta }}^{2}u=0$

в случае пластинки. Здесь использованы следующие обозначения: $t$ — время, $z$ — координата вдоль оси стержня, $\mathrm{\Delta }$ — двумерный оператор Лапласа по координатам плоскости пластинки, $u$ — смещение элементов стержня или пластинки, $\rho$ — плотность материала, $E$ — модуль Юнга, $\sigma$ — коэффициент Пуассона, $R$ — радиус инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через нейтральную поверхность, $h$ — толщина пластинки.

Из уравнений можно получить выражения для фазовых скоростей изгибных волн частоты $\omega$. Для стержня она равна

$v_p={\left(\frac{E{R}^2}{\rho }\right)}^{\frac{1}{4}}{\omega }^{\frac{1}{2}}$

а для пластинки:

$v_p={\left(\frac{E{h}^2}{12\rho (1-{\sigma }^2)}\right)}^{\frac{1}{4}}{\omega }^{\frac{1}{2}}$

Можно показать, что эти скорости значительно меньше фазовой скорости продольных волн. Также видно, что изгибные волны подвержены дисперсии: при увеличении частоты их фазовая скорость увеличивается (аномальная дисперсия). Термин «аномальная» заимствован из оптики. Там в прозрачных средах фазовая скорость растёт с увеличением длины волны (уменьшением частоты). В случае изгибных волн в стержне дисперсия обусловлена границами среды (не свойствами). При уменьшении длины волны растёт кривизна изгиба из-за чего растёт и сила упругости и соответственно фазовая скорость. (см. учебник автор Исакович) . Групповая скорость изгибных волн связана с фазовой простым соотношением:

$v_g=2v_p$

Примеры

Примерами изгибных волн могут служить стоячие волны, возбуждаемые при ударе камертона, в деках музыкальных инструментов и в диффузорах громкоговорителей. Вибрации тонких стенок корпусов самолётов, автомобилей, перекрытий и стен здания и т. п. также являются примером изгибных волн.

Литература

• Шаблон:Книга:Физическая энциклопедия