Инвариант конечного типа

Инвариант конечного типа (или инвариант Васильева) — класс инвариантов узлов, характеризующийся определённым соотношением на все Шаблон:Iw сингулярного узла с данным числом самопересечений.

Определение

Пусть $f$ — инвариант узлов со значениями в вещественных числах, то есть $f(K)$ есть вещественное число определённое для каждого узла $K$, такое, что $f(K)=f(K^{\prime })$, если узлы $K$ и $K^{\prime }$ изотопны.

Рассмотрим плоскую диаграмму $D$ узла и выберем некоторое подмножество её перекрестков, состоящее из $m$ элементов. Пронумеруем эти перекрёстки от 1 до $m$.

Для набора $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_m)$, где ${\epsilon }_i=\pm 1$ рассмотрим диаграмму $D[{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_m]$, полученную из $D$ изменением перекрестков по такому правилу: если ${\epsilon }_i=1$, то $i$-й перекресток не меняется, а если ${\epsilon }_i=-1$, то меняется на противоположный.

Пусть $n$ неотрицательное целое число. В случае если для любой диаграммы $D$ и любого выбора $m>n$ перекрёстков выполняется тождество

$\sum _{({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_m)}{\epsilon }_1\cdots {\epsilon }_m\cdot f(D[{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_m])=0$

то говорят, что $f$ имеет степень не выше $n$.

Инварианты конечной степени называются инвариантами конечного типа.

Примеры

• Все известные полиномиальные инварианты узлов выражаются через инварианты конечного типа.
  • Коэффициент при квадратичном члене в многочлене Александера является инвариантом конечного типа степени два.
• Любой коэффициент в интеграле Концевича является инвариантом конечного типа.

Свойства

• Инварианты степени не выше $n$ образуют векторное пространство $V_n$. При этом

  $V_0\subset V_1\subset V_2\subset \dots$

  • $V_0$ и $V_1$ являются одномерными, то есть инварианты степени не выше $1$ — это только константы.
  • $V_m\cdot V_n\subset V_{m+n}$

Открытые вопросы

• Образуют ли инварианты конечного типа полную систему инвариантов? То есть верно ли, что если два узла $K$ и $K^{\prime }$ не изотопны, то найдется инвариант конечного типа $v$ такой, что $v(K)\ne v(K^{\prime })$?

История

Инварианты узлов конечного типа были предложены независимо Васильевым и Гусаровым[1] в конце 1980-х годов. Васильеву принадлежат первые публикации на эту тему (1990), Гусаров, выступил на семинаре Рохлина в 1987 году а первая публикация вышла только в 1991.

В 1992 году Арнольд сделал на эту тему доклад на Европейском математическом конгрессе. С этих пор закрепился термин «инварианты Васильева».

Литература

• Шаблон:Статья

Шаблон:Теория узлов