Инвариант Концевича

Инвариант Концевича, (или интеграл КонцевичаШаблон:Sfn) — инвариант ориентированного оснащённого зацепления определённого типа. Является универсальным инвариантом ВасильеваШаблон:Sfn в том смысле, что каждый коэффициент инварианта Концевича является инвариантом конечного типа, и наоборот, любой инвариант конечного типа может быть представлен в виде линейной комбинации таких коэффициентов. Является далеко идущим обобщением простой интегральной формулы для числа зацепленияШаблон:Sfn.

Инвариант был определён Максимом Львовичем Концевичем в 1992 году в доказательстве теоремы Васильева — Концевича.

Инвариант Концевича является универсальным Шаблон:Не переведено 5 в том смысле, что любой квантовый инвариант может быть получен путём подстановки подходящей весовой системы в диаграмму Якоби.

Определение

Инвариант Концевича определяется как монодромия Шаблон:Не переведено 5 в дополнении к объединению диагональных гиперплоскостей в CⁿШаблон:Sfn.

Простейший интеграл типа Концевича

Представим трехмерное пространство ${ℝ}^3$ как прямое произведение комплексной прямой $ℂ$ с координатой z и вещественной прямой $ℝ$ с координатой t. Вложим зацепление $L=K\cup K^{\prime }$ в пространство ${ℝ}^3=z\times t$ так, чтобы координата t была функцией Морса на L. Это значит, что во всех точках, где t как функция параметра на кривой имеет нулевую производную, ее вторая производная не должна обращаться в нуль, а значения t во всех таких точках (критические значения) должны быть различны между собойШаблон:Sfn. Оказывается, число зацепления можно тогда сосчитать по такой формуле:

$lk(K,K^{\prime })=\frac{1}{2\pi }\underset{m}{\overset{M}{\int }}\sum _j{\epsilon }_j\frac{d(z_j(t)-z{\text{'}}_j(t))}{z_j(t)-z{\text{'}}_j(t)}$

Формула Концевича

(Исходный) интеграл Концевича узла K — это следующий элемент пополнения алгебры $\overline{𝒜}$ хордовых диаграммШаблон:Sfn:

$Z(K)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2\pi i{)}^m}\underset{t_{min}<t_1<\dots <t_m<t_{max}}{\int }\sum _{P=\{(z_j,z{\text{'}}_j)\}}(-1{)}^{\downarrow }{D}_p\underset{j=1}{\overset{m}{\bigwedge }}\frac{d{z}_j-dz{\text{'}}_j}{z_j-z{\text{'}}_j}$

Объяснение этой формулы см. в статье С. В. Дужина. Если обозначить через H тривиальный узел, вложение которого в пространство даёт два максимума и два минимума, получимШаблон:Sfn:

$I(K)=\frac{Z(K)}{Z(K{)}^{c/2}}$,

где c — число критических точек функции t на K.

Можно показать, что интеграл $Z(K)$, во-первых, сходится для любого узла, расположенного в пространстве указанным выше способом, а во-вторых, не меняется при гладких изотопиях узла, при которых сохраняется число критических точек функции t. Ввиду того, что узел — замкнутая кривая, появляться и исчезать критические точки могут только парами.

$I(K)$ называется окончательным интегралом Концевича

Интеграл Концевича — довольно сложный объект, и в течение нескольких лет никто не умел вычислять окончательный интеграл Концевича даже для тривиального узла. Известны были лишь коэффициенты при некоторых хордовых диаграммах в бесконечной сумме.

В 1997 году появилась гипотеза Д. Бар-Натана с соавторамиШаблон:Sfn (доказана в 1998Шаблон:Sfn), чтоШаблон:Sfn

$I(O)=\exp \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n}{w}_{2n}$,

здесь O — неузел (окружность), эквивалентный H, $b_{2n}$ — модифицированные числа Бернулли, а $w_{2n}$ — колёса, т.е. диаграммы в виде окружности с радиальными отрезками. Произведения колёс понимаются как несвязное объединение диаграмм, а сами колёса интерпретируются как линейные комбинации диаграмм Фейнмана (см. ниже).

Диаграмма Якоби

Диаграмма Фейнмана и хордовая диаграмма

Диаграмма Фейнмана степени n — это связный трёхвалентный граф с 2n вершинами, в котором выделен ориентированный цикл, называемый петлёй УилсонаШаблон:Sfn. Хордовая диаграмма является частным случаем диаграмм Фейнмана (у них все трёхвалентные вершины лежат на петле Уилсона). Степень диаграммы Фейнмана — это половина общего числа вершин графа. Диаграмма Фейнмана называется связной, если соответствующий граф остаётся связным после отбрасывания петли УилсонаШаблон:Sfn.

Определение

Пример диаграммы Якоби

Пусть Шаблон:Mvar — окружность (которая является 1-мерным многообразием и будет служить петлёй Уилсона). Как показано на рисунке справа, диаграмма Якоби порядка Шаблон:Mvar является графом с Шаблон:Math вершинами, в котором внешняя окружность (петля Уилсона) отражена сплошной линией, а пунктирные линии называются внутренним графом, который удовлетворяет следующим условиям:

1. Направление указывается только на внешнем цикле.
2. Вершины имеют значения 1 или 3. Вершины со значением 3 связаны с одним из других (полу)рёбер по часовой или против часовой стрелки, что отражено в маленькой ориентированной окружности.

Вершины со значением 1 часто называют одновалентными, а со значением 3 — трёхвалентнымиШаблон:Sfn. Одновалентные вершины связаны с внешней окружностью без кратности и упорядочены ориентацией окружности. Диаграмма Якоби может быть несвязной, при этом требуется, чтобы в каждой компоненте связности была хотя бы одна одновалентная вершинаШаблон:Sfn. Рёбра на Шаблон:Mvar называются хордами. Мы обозначаем как Шаблон:Math факторпространство коммутативной группы, образованной всеми диаграммами Якоби на Шаблон:Mvar по следующим соотношениям:

(Соотношение AS) + = 0

( Соотношение IHX) = −

( Соотношение STU) = −

(Соотношение FI) = 0.

Если любая связная компонента графа Шаблон:Mvar имеет вершину со значением 3, то мы можем превратить диаграмму Якоби в хордовую диаграмму с помощью рекурсивного применения соотношения STU. Если ограничиться только хордовыми диаграммами, то четыре соотношения выше сводятся к следующим двум соотношениям:

(Четырёхчленное соотношение) − + − = 0.

(Соотношение FI) = 0.

Замечание: В диаграммах Якоби разрешены кратные рёбра и висячие петлиШаблон:Sfn.

Свойства

Взяв среднее арифметическое по всем способам приклеивания петли Уилсона к одновалентным вершинам, любую диаграмму Якоби можно превратить в линейную комбинацию диаграмм ФейнманаШаблон:Sfn.

Работать с диаграммами Якоби удобнее, чем с диаграммами Фейнмана, поскольку, помимо общей градуировки половиной числа вершин, есть ещё две дополнительные градуировки: по числу компонент связности и по числу одновалентных вершинШаблон:Sfn.

• Степень или порядком диаграммы Якоби определяется как половина суммы чисел её вершин. Это число всегда является целым и равно числу хорд в хордовой диаграмме, полученной из диаграммы ЯкобиШаблон:Sfn.
• Подобно Шаблон:Не переведено 5, диаграммы Якоби образуют моноидальную категорию. Композиция и тензорное произведение морфизмов определяются методом «укладки коробок»:

Файл:Jacobi diagram – Monoidal.svg

Иначе говоря, тензорное произведение морфизмов — это несвязное объединение, а композиция — склейка соответствующих частей границыШаблон:Sfn.

• • В специальном случае, когда Шаблон:Mvar является интервалом Шаблон:Mvar, Шаблон:Math будет коммутативной алгеброй. Если рассматривать Шаблон:Math как алгебру с умножением, определённым как связная сумма, Шаблон:Math изоморфна Шаблон:Math.
• Диаграмму Якоби можно рассматривать как абстракцию представления тензорной алгебры, порождённой алгебрами Ли, что позволяет нам определить некоторые операции, аналогичные to копроизведениям, коединицам и антиподам алгебр Хопфа.
• Поскольку Инварианты Васильева (инварианты конечного типа) тесно связаны с хордовыми диаграммами, можно построить сингулярный узел из хордовой диаграммы Шаблон:Mvar на Шаблон:Math. Шаблон:Mvar обозначает пространство, образованное всеми сингулярными узлами степени Шаблон:Mvar, каждый такой Шаблон:Mvar определяет единственный элемент в Шаблон:Math.

Весовая система

Отображение из диаграмм Якоби в положительные числа называется весовой системой. Отображение, расширенное на Шаблон:Math, также называется весовой системой. Системы имеют следующие свойства:

• Пусть Шаблон:Mvar — полупростая алгебра Ли, а Шаблон:Mvar — её представление. Мы получаем весовую систему путём «подстановки» инвариантного тензора Шаблон:Mvar в хорду диаграммы Якоби и Шаблон:Mvar в базисном многообразии Шаблон:Mvar диаграммы Якоби.
  • Мы можем рассматривать трёхвалентные вершины диаграмм Якоби как скобочное произведение алгебры Ли, стрелки сплошной линии как представление пространства Шаблон:Mvar, а одновалентные вершины как действия алгебры Ли.
  • Соотношение IHX и соотношение STU соответствуют соответственно тождеству Якоби и определению представления

Шаблон:Math.

• Весовая система играет существенную роль в доказательстве гипотезы Мервина — МортонаШаблон:Sfn, которая устанавливает связь многочленов Александера с многочленами Джонса.

История

Диаграммы Якоби были введены по аналогии с диаграммами Фейнмана, когда Концевич определил инварианты узла через кратные интегралы в первой половине 1990-х годовШаблон:Sfn. Он представлял сингулярные точки хордами, таким образом, он работал только с хордовыми диаграммами. Д. Бар-Натан позднее сформулировал их как одно- и трёхвалентные графы, изучал их алгебраические свойства и назвал их в своей статье "диаграммами китайских иероглифов" (Chinese character diagrams)Шаблон:Sfn. Для обозначения этих диаграмм использовались разные термины, включая «хордовые диаграммы» и «диаграммы Феймана», но примерно с 2000 года они получили название диаграмм Якоби, поскольку соотношение IHX соответствует тождеству Якоби для алгебр Ли.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга