Алгебра Хопфа

Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей (таким образом, являющаяся биалгеброй) c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Хайнца Хопфа.

Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они впервые возникли в связи с концепцией H-пространства, в теории групповых схем, в теории групп (благодаря концепции группового кольца) и не только. Частая распространенность делает их одним из самых известных примеров биалгебр. Алгебры Хопфа также изучаются как самостоятельный объект в связи с большим количеством определённых классов алгебр Хопфа и проблем их классификации.

Определение

Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра Шаблон:Mvar над полем $K$ вместе с $K$-линейным отображением $S:H\to H$ (называемым антиподом) таким, что следующая диаграмма коммутативна:

Здесь Шаблон:Math — коумножение биалгебры, Шаблон:Math — её умножение, Шаблон:Mvar — её единица и Шаблон:Mvar — её коединица. В обозначениях Свидлера, это свойство также может быть выражено как:

$S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=ϵ(c)1\mathrm{\forall }c\in H$.

Приведённое определение можно обобщить на алгебры над кольцами (достаточно в определении заменить поле $K$ на коммутативное кольцо $R$).

Определение алгебры Хопфа двойственно самому себе (это отражено в симметрии приведённой диаграммы), в частности, пространство, двойственное к Шаблон:Mvar (которое всегда можно определить, если Шаблон:Mvar является конечномерным) автоматически является алгеброй Хопфа.

Свойства антипода

Антипод Шаблон:Mvar иногда обязан иметь Шаблон:Mvar-линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если Шаблон:Mvar коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря, квазитреугольная).

Вообще говоря, Шаблон:Mvar — антигомоморфизм, так Шаблон:Math — гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если Шаблон:Mvar было обратимо (как может требоваться).

Если $S^2=Id$, то алгебра Хопфа, как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью — *-алгебра). Если Шаблон:Mvar — конечномерная полупростая алгебра по полю характеристики ноль, коммутативная, или кокоммутативная, то это — запутанная алгебра.

Если биалгебра Шаблон:Mvar допускает антипод Шаблон:Mvar, то Шаблон:Mvar единственен («биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа»).

Антипод — аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает $g$ к $g^{-1}$.

Подалгебры Хопфа

Подалгебра Шаблон:Mvar алгебры Хопфа Шаблон:Mvar является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй Шаблон:Mvar и антипод Шаблон:Mvar отображает Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar. Другими словами, подалгебра Хопфа Шаблон:Mvar — это подпространство в алгебре Хопфа, замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Николса — Зеллер (Nichols — Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный [[модуль над кольцом|Шаблон:Mvar-модуль]] имеет конечный ранг и свободен, если Шаблон:Mvar конечномерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.

Подалгебра Хопфа Шаблон:Mvar называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа Шаблон:Mvar, если она удовлетворяет условию стабильности, $a{d}_r(h)(A)\subseteq A$ для всех Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar, где присоединённое действие $a{d}_r$ определено как $a{d}_r(h)(a)=S(h_{(1)})a{h}_{(2)}$ для всех Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar. Точно так же подалгебра Хопфа Шаблон:Mvar является левой нормальной в Шаблон:Mvar если она инвариантна при левом сопряжении, определенном как $a{d}_{\ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})$ для всех Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar. Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод Шаблон:Mvar биективен. В этом случае говорят, что Шаблон:Math является нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar удовлетворяет условию (равенства подмножеств Шаблон:Mvar): $H{A}^{+}=A^{+}H$, где $A^{+}$ обозначает ядро коединицы Шаблон:Mvar. Это условие нормальности подразумевает, что $H{A}^{+}$ — идеал Хопфа алгебры Шаблон:Mvar (то есть является идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена факторалгебра Хопфа $H/H{A}^{+}$ и эпиморфизм $H\to H/A^{+}H$, аналогично соответствующим конструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.

Примеры

1. Групповая алгебра. Пусть Шаблон:Mvar — группа. Алгебра Шаблон:Math — ассоциативная алгебра над Шаблон:Mvar, с единицей. Если мы определим
2. Шаблон:Math для любого Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar,
3. Шаблон:Math для любого Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar,
4. Шаблон:Math для любого Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar,

то Шаблон:Math превращается в алгебру Хопфа.

STU-соотношение и тривиальный случай

1. Диаграмма китайских иероглифов - связный граф, имеющий лишь трехвалентные вершины, с выделенным ориентированным циклом (петлей Вильсона), и фиксированным циклическим порядком тройки ребер, которые выходят из каждой вершины, не лежащей на петле Вильсона. Группа китайских диаграмм порядка $i$ - свободный $G$-модуль, порожденный $2i$-вершинными диаграммами (которые рассматриваются с точностью до естественной эквивалентности), факторизованный по подмодулю, порожденному всевозможными $STU$-соотношениями.

Когомологии групп Ли

Алгебра когомологий группы Ли — алгебра Хопфа: умножение — стандартное произведение в кольце когомологий, а коумножение имеет вид

$H^{*}(G)\to H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)$

в силу умножения группы $G\times G\to G$. Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.

Теорема Хопфа Пусть Шаблон:Mvar — конечномерная градуированно-коммутативная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда Шаблон:Mvar (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени.

Квантовые группы

Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное), либо кокоммутативными (то есть Шаблон:Math, где Шаблон:Math есть перестановка тензорных сомножителей, определенная как Шаблон:Math. Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации, или «квантования», примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в терминах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».

Аналогия с группами

Группы могут быть аксиоматизированы при помощи тех же диаграмм (эквивалентностей, операций), что и алгебры Хопфа, где Шаблон:Mvar — множество, а не модуль. В этом случае:

• поле Шаблон:Mvar заменено множеством из 1 элемента
• есть естественная коединица (отображение в единственный элемент)
• есть естественное коумножение (диагональное отображение)
• единица — нейтральный элемент группы
• умножение — умножение в группе
• антипод — взятие обратного элемента в группе

В этом смысле о группах можно думать как о алгебрах Хопфа над Шаблон:Не переведено 5.

Ссылки

• Шаблон:Citation.
• Pierre Cartier, A primer of Hopf algebrasШаблон:Недоступная ссылка, IHES preprint, September 2006, 81 pages
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
• H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). Шаблон:MathSciNet
• Шаблон:Citation.

Литература

• Шаблон:Книга