Зацепление (теория узлов)

Кольца Борромео
Обозначение= L6a4
Число нитей = 3
Длина косы= 6
Число пересечений= 6
Гиперболический объём= 7.327724753
Класс= гиперболический

Зацепление Хопфа, в котором кольца соединены лентой и являются её краями.

Трилистник, сцепленный с кругом.

Зацепление кратности $\mu$ — вложение (чаще — его образ) несвязной суммы $\mu$ экземпляров окружности в ${ℝ}^3$ или $S^3$.

Зацепление кратности $\mu =1$ называется узлом.

Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.

Объемлемо-изотопические классы зацеплений называются типами зацеплений. Зацепления одного типа называются эквивалентными.

Зацепление, состоящее из некоторых компонент зацепления $L$, называется его частичным зацеплением.

Говорят, что зацепление распадается (или расщепляется), если два его частичных зацепления разделены в $S^3$ двумерной сферой.

Некоторые типы зацеплений

• Зацепление «$0,0,\dots ,0$», лежащее в плоскости в ${ℝ}^3$, называется тривиальным.
• Зацепление называется брунновым, если распадается каждое его частичное зацепление, кроме него самого.
• Наиболее изучены кусочно линейные зацепления. Рассмотрение гладких или локально плоских топологических вложений в ${ℝ}^3$ приводит к теории совпадающей с кусочно линейной.
• Кроме плоскости всякое зацепление можно расположить на стандартно вложенной в ${ℝ}^3$ замкнутой поверхности. Например, зацепление можно расположить на незаузленном торе или кренделе, тогда такое зацепление будет называться соответственно торическим, или крендельным.
• Зацепление, лежащее на границе трубчатой окрестности узла называется обмоткой узла $k$. Зацепление, которое можно получить многократным взятием обмоток, начиная с тривиального узла, называется трубчатым, или сложным кабельтовым.

Задание зацеплений

Обычно зацепления задаются посредством так называемых диаграмм узлов и зацеплений. Этот способ тесно связан с понятием кос. Если в косе из $2n$ нитей соединить вверху и внизу по $n$ пар соседних концов отрезками, то получится зацепление, называемое $2n$-сплетением.

Другой способ конструирования зацеплений из кос состоит в замыкании кос. Если между двумя параллельными плоскостями ${\mathrm{\Pi }}_1$ и ${\mathrm{\Pi }}_2$ в ${ℝ}^3$ взять $2m$ ортогональных им отрезков и соединить их концы попарно $m$ дугами в ${\mathrm{\Pi }}_1$ и $m$ дугами в ${\mathrm{\Pi }}_2$ без пересечений, то сумма всех дуг и отрезков даст зацепление. Зацепление, допускающее такое представление, называется зацеплением с $m$ мостами.

Примеры зацеплений

Зацепление Хопфа
Обозначение= L2a1
Число нитей = 2
Длина косы= 2
Число пересечений= 2
Коэффициент зацепления= 1
Гиперболический объём= 0
Класс= тор

• Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами Шаблон:Sfn, состоит из двух окружностей, зацеплённых однократноШаблон:Sfn и названо по имени Хайнца ХопфаШаблон:Sfn.

Узел Соломона
Число нитей = 4
Длина косы= 8
Число пересечений= 4
Число распутывания =2
ab-нотация =4Шаблон:Sup sub
Гиперболический объём= 0
альтернирующий

• Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением
• Кольца Борромео — это зацепление, состоящее из трёх топологических окружностей, которые сцеплены и образуют брунново зацепление (то есть удаление любого кольца приведёт к разъединению двух оставшихся колец). Другими словами, никакие два из трёх колец не сцеплены как в зацеплении Хопфа, тем не менее, все вместе они сцеплены.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
• Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга.
• Статьи «Теория узлов в конце XX века» // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья* Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry.Шаблон:Ref-en
• Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots.Шаблон:Ref-en
• Birman J.S. Braids, knots and contact structures.Шаблон:Ref-en
• Шаблон:MathWorld