Зацепление Хопфа

Зацепление Хопфа
Обозначение= L2a1
Число нитей = 2
Длина косы= 2
Число пересечений= 2
Коэффициент зацепления= 1
Гиперболический объём= 0
Класс= тор

Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентамиШаблон:Sfn, состоит из двух окружностей, зацеплённых однократноШаблон:Sfn и названо по имени Хайнца ХопфаШаблон:Sfn.

Геометрическое представление

Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, таких что каждая проходит через центр другойШаблон:Sfn. Эта модель минимизирует Шаблон:Не переведено 5 (длина верёвки — инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 года зацепление Хопфа являлось единственным, у которого длина верёвки была известна Шаблон:Sfn. Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидомШаблон:Sfn.

Свойства

Скейн-соотношение для зацепления Хопфа

В зависимости от относительной Шаблон:Не переведено 5 двух компонент коэффициент зацепления Хопфа равен ±1Шаблон:Sfn.

Зацепления Хопфа является (2,2)-торическим зацеплениемШаблон:Sfn с описывающим словомШаблон:Sfn ${\sigma }_1^2$.

Дополнение зацепления Хопфа — $ℝ\times S^1\times S^1$, цилиндр над торомШаблон:Sfn. Это пространство имеет локально евклидову геометрию, так что зацепление Хопфа не является гиперболическим. Группа узлов зацепления Хопфа (фундаментальная группа его дополнения) — это ${\mathbb{Z}}^2$ (свободная абелева группа на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует свободная группа на двух генераторахШаблон:Sfn.

Зацепление Хопфа не может быть раскрашено в три цвета. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.

Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — это непрерывное отображение из 3-сферы (трёхмерная поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве) в более привычную 2-сферу, такое, что прообраз каждой точки на 2-сфере является окружностью. Таким образом получается разложение 3-сферы на непрерывное семейство окружностей и каждые две различных окружности из этого семейства образуют зацепление Хопфа. Этот факт и побудил Хопфа заняться изучением зацеплений Хопфа — поскольку любые два слоя зацеплены, расслоение Хопфа является нетривиальным Шаблон:Не переведено 5. С этого началось изучение гомотопических групп сферШаблон:Sfn.

История

Герб Шаблон:Не переведено 5

Зацепление названо именем тополога Хайнца Хопфа, исследовавшего его в 1931 году в работе по расслоению ХопфаШаблон:Sfn. Однако такое зацепление использовал ещё ГауссШаблон:Sfn, а вне математики оно встречалось задолго до этого, например, в качестве герба японской буддийской секты Шаблон:Не переведено 5, основанной в XVI столетии.

См. также

• Катенаны, химические соединения с двумя механически сцеплёнными молекулами
• Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Hopf link, The Knot Atlas