Торический узел

(3,7)-торический узел.

Приз EureleA в виде (2,3)-торического узла.

(2,8)-торическое зацепление

Торический узел — специальный вид узлов, лежащих на поверхности незаузлённого тора в ${ℝ}^3$.

Торическое зацепление — зацепление, лежащее на поверхности тора. Каждый торический узел определяется парой взаимно простых целых чисел $p$ и $q$. Торическое зацепление возникает, когда $p$ и $q$ не взаимно просты (в этом случае число компонент равно наибольшему общему делителю $p$ и $q$). Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо $p$, либо $q$ равны 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, известный также как трилистник.

(2,−3)-торический узел, известный также как левый трилистник

Геометрическое представление

Торический узел можно представить геометрически различными способами, топологически эквивалентными, но геометрически различными.

Обычно используется соглашение, что $(p,q)$-торический узел вращается $q$ раз вокруг круговой оси тора и $p$ раз вокруг оси вращения тора. Если $p$ и $q$ не взаимно просты, то получается торическое зацепление, имеющее более одной компоненты. Соглашения о направлении, в котором нити вращаются вокруг тора, также различны, чаще всего предполагается правый винт для $pq>0$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

$(p,q)$-торический узел может быть задан Шаблон:Не переведено 5:

$x=r$ $\cos (p\varphi )$,

$y=r$ $\sin (p\varphi )$,

$z=-\sin (q\varphi )$,

где $r=\cos (q\varphi )+2$ и $0<\varphi <2\pi$. Он лежит на поверхности тора, задаваемого формулой $(r-2{)}^2+z^2=1$ (в цилиндрических координатах).

Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определены с точностью до непрерывной деформации. Примеры для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, приняв $r=\cos (q\varphi )+4$, а в случае (2,3)-торического узла путём вычитания $3\cos ((p-q)\varphi )$ и $3\sin ((p-q)\varphi )$ из вышеприведённых параметризаций $x$ и $y$.

Свойства

Диаграмма (3,−8)-торического узла.

Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо $p$, либо $q$ равны 1 или −1Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Каждый нетривиальный торический узел является простым и хиральными.

$(p,q)$-торический узел эквивалентен $(q,p)$-торическому узлуШаблон:SfnШаблон:Sfn. $(p,-q)$-торический узел является обратным (зеркальным отражением) $(p,q)$-торического узлаШаблон:Sfn. $(-p,-q)$-торический узел эквивалентен $(p,q)$-торическому узлу, за исключением ориентации.

(3, 4) торический узел на развороте поверхности тора и слово косы

Любой $(p,q)$-торический узел может быть построен из замкнутой косы с $p$ нитями. Подходящее слово косыШаблон:Sfn:

$({\sigma }_1{\sigma }_2\cdots {\sigma }_{p-1}{)}^q$.

Эта формула использует соглашение, что генераторы косы используют правые вращенияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Число пересечений $(p,q)$-торического узла с $p,q>0$ задаётся формулой:

$c=\min ((p-1)q,(q-1)p)$.

Род торического узла с $p,q>0$ равен:

$g=\frac{1}{2}(p-1)(q-1).$

Многочлен Александера торического узла равенШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\frac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}$.

Полином Джонса (правовинтовой) торического узла задаётся формулой:

$t^{(p-1)(q-1)/2}\frac{1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^2}$.

Дополнение торического узла на 3-сфере — это многообразие Зейферта.

Пусть $Y$ — $p$-мерный Шаблон:Не переведено 5 с диском, удалённым внутри, $Z$ — $q$-мерный дурацкий колпак с внутренним удалённым диском, и $X$ — факторпространство, полученное отождествлением $Y$ и $Z$ вдоль границы окружности. Дополнение $(p,q)$-торического узла является деформационным ретрактом пространства $X$. Таким образом, группа узла торического узла имеет представление:

$⟨x,y\mid x^p=y^q⟩$.

Торические узлы — это единственные узлы, чьи группы узла имеют нетривиальные центры (которые являются бесконечными циклическими группами, образованные элементом $x^p=y^q$ из этого представления).

Список

• Тривиальный узел, 3₁-узел (2,3), Узел «Лапчатка» (5,2), Шаблон:Не переведено 5 (7,2), 8₁₉-узел (4,3), 9₁-узел (9,2), 10₁₂₄-узел (5,3).

См. также

• Альтернированный узел
• Узел «Лапчатка»
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• 36 Torus Knots, The Knot Atlas.
• Шаблон:MathWorld
• Torus knot renderer in Actionscript
• Fun with the PQ-Torus Knot