Инверсная группа

Инверсная группа — построение в теории групп, сменяющее аргументы бинарной групповой операции местами, используемое для определения правого действия. Для данной группы $G=(G,\cdot )$ строится как группа $G^{op}=(G,*)$ с тем же множеством элементов, но с произведением $*$, определённым по правилу $g*h:=h\cdot g$.

Инверсная группа абелевой группы совпадает с ней самой. Инверсная группа любой группы изоморфна ей: изоморфизмом будет, например, $g\mapsto g^{-1}$; кроме того, любой антиавтоморфизм $\psi :G\to G$ (взаимно-однозначное отображение группы на себя, удовлетворяющее соотношению $\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)$) порождает соответствующий изоморфизм $\phi :G\to G^{op}$:

$\phi (a\cdot b)=\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)=\psi (a)*\psi (b)=\phi (a)*\phi (b)$.

Если задано правое действие группы $G$ на объекте некоторой категории: $\rho :G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(X)$, то ${\rho }^{op}:G^{op}\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(X)$, определённое как ${\rho }^{op}(g)=\rho (g)$ (или $g^{op}x=xg$), является левым действием.

При категорном определении группы инверсная группа становится частным случаем двойственной категории.

Литература

• Шаблон:Книга