Интеграл Виноградова

Интеграл Виноградова — кратный интеграл вида

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\dots \underset{0}{\overset{1}{\int }}|S{|}^{2k}d{\alpha }_{1}d{\alpha }_2\dots d{\alpha }_n,$

где

$S=\sum _{1⩽x⩽P}{e}^{2\pi i({\alpha }_{1}x+{\alpha }_2{x}^2+\dots +{\alpha }_n{x}^n)},$

являющийся средним значением степени 2k модуля тригонометрической суммы. Теорема Виноградова о величине этого интеграла — теорема о среднем — лежит в основе оценок сумм Вейля. Интеграл применяется при решении проблем аналитической теории чисел.

Значение интеграла Виноградова соответствует числу решений следующей системы уравнений:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+\dots +x_k=y_1+\dots +y_k,\\ x_1^2+\dots +x_k^2=y_1^2+\dots +y_k^2,\\ \cdots \\ x_1^n+\dots +x_k^n=y_1^n+\dots +y_k^n.\end{array}$

где неизвестные $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots ,y_k$ могут принимать целые значения от 1 до $P,P⩾1$.

Литература

• Архипов Г. И., Карацуба А. А. Новая оценка интеграла И. М. Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1978. — № 42. — С. 751—762.
• Виноградова интеграл // Математическая энциклопедия. Т. 1 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия. — 1977.
• Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1971.