Интеграл столкновений

Интеграл столкновений — выражение, составляющее правую часть кинетического уравнения Больцмана, которое определяет скорость изменения функции распределения частиц $f(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p},t)$ вследствие столкновений между ними:

$I(f,f_1)={\frac{\partial f}{\partial t}|}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}}.$

Иногда интеграл столкновений называют оператором столкновений и обозначают $\mathrm{S}\mathrm{t}f$ (от немецкого слова der Stoß — удар).

Если рассматривать только упругие парные столкновения в газе частиц одного сорта, то интеграл столкновений будет иметь вид:

$I(f,f_1)=\int (f^{\prime }{f_1}^{\prime }-f{f}_1)\cdot u\cdot \sigma (u,\theta )d\mathrm{\Omega }{d}^3{p}_1,$

или

$I(f,f_1)=\int \omega \cdot (f^{\prime }{f_1}^{\prime }-f{f}_1)d^3{p}_1{d}^3{p}^{\prime }{d}^3{p_1}^{\prime },$

где

• $f=f(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p},t),f_1=f(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{p}}_1,t)$ — функции распределения частиц с импульсами $\overrightarrow{p},{\overrightarrow{p}}_1$ до столкновения;
• $f^{\prime }=f(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{p}}^{\prime },t),{f_1}^{\prime }=f(\overrightarrow{r},{{\overrightarrow{p}}_1}^{\prime },t)$ — функции распределения частиц с импульсами ${\overrightarrow{p}}^{\prime },{{\overrightarrow{p}}_1}^{\prime }$ после столкновения;
• $\sigma (u,\theta )$ — дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в телесный угол $d\mathrm{\Omega }$;
• $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_1$ — относительная скорость сталкивающихся частиц;
• $\theta$ — угол между относительной скоростью и линией центров;
• $\omega =\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(\overrightarrow{p}{\overrightarrow{p}}_1|{\overrightarrow{p}}^{\prime }{{\overrightarrow{p}}_1}^{\prime })$ — плотность вероятности столкновения.

$\omega d^3{p}^{\prime }{d}^3{p_1}^{\prime }=ud\sigma ,$

$d\sigma =\sigma (u,\theta )d\mathrm{\Omega }$.

Эффективное сечение зависит от вида потенциала взаимодействия двух частиц. В частности, для жёстких упругих сфер радиуса $R$:

$\sigma (u,\theta )=4R^2\cos \theta$.

Интеграл столкновений представляет собой разность мощностей источников и стоков частиц с данными импульсами:

$I(f,f_1)=q_{+}-q_{-},$

где

• $q_{+}=\int \omega \cdot f^{\prime }{f_1}^{\prime }{d}^3{p}_1{d}^3{p}^{\prime }{d}^3{p_1}^{\prime }$ — мощность источников частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке, появляющихся за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов;
• $q_{-}=\int \omega \cdot f{f}_1{d}^3{p}_1{d}^3{p}^{\prime }{d}^3{p_1}^{\prime }$ — мощность стоков частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке, исчезающих за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов.

В случае, если для рассматриваемых молекул существенны квантовые эффекты, то интеграл столкновений принимает вид:

$I(f,f_1)=\int \omega \cdot (f^{\prime }{f_1}^{\prime }(1\pm f)(1\pm f_1)-f{f}_1(1\pm f^{\prime })(1\pm {f_1}^{\prime }))d^3{p}_1{d}^3{p}^{\prime }{d}^3{p_1}^{\prime },$

где знак «+» соответствует бозонам, а знак «−» — фермионам.

Аппроксимации

Шаблон:Дополнить раздел Модель Шаблон:Iw

$I(f,f^{\prime })=\frac{1}{\tau }(f-f^{\prime })$,

где $\tau$ — время релаксации, то есть среднее время между столкновениями.

Ссылки

• Шаблон:Из