Интеграл столкновений

Интеграл столкновений — выражение, составляющее правую часть кинетического уравнения Больцмана, которое определяет скорость изменения функции распределения частиц $f (\vec{r}, \vec{p}, t)$ вследствие столкновений между ними:

I (f, f_{1}) = {\frac{\partial f}{\partial t} |}_{c o l l} .

Иногда интеграл столкновений называют оператором столкновений и обозначают $S t f$ (от немецкого слова der Stoß — удар).

Если рассматривать только упругие парные столкновения в газе частиц одного сорта, то интеграл столкновений будет иметь вид:

I (f, f_{1}) = \int (f^{'} f_{1}^{'} - f f_{1}) \cdot u \cdot σ (u, θ) d Ω d^{3} p_{1},

или

I (f, f_{1}) = \int ω \cdot (f^{'} f_{1}^{'} - f f_{1}) d^{3} p_{1} d^{3} p^{'} d^{3} p_{1}^{'},

где

$f = f (\vec{r}, \vec{p}, t), f_{1} = f (\vec{r}, {\vec{p}}_{1}, t)$ — функции распределения частиц с импульсами $\vec{p}, {\vec{p}}_{1}$ до столкновения;
$f^{'} = f (\vec{r}, {\vec{p}}^{'}, t), f_{1}^{'} = f (\vec{r}, {\vec{p}}_{1}^{'}, t)$ — функции распределения частиц с импульсами ${\vec{p}}^{'}, {\vec{p}}_{1}^{'}$ после столкновения;
$σ (u, θ)$ — дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в телесный угол $d Ω$ ;
$\vec{u} = \vec{v} - {\vec{v}}_{1}$ — относительная скорость сталкивающихся частиц;
$θ$ — угол между относительной скоростью и линией центров;
$ω = p r o b (\vec{p} {\vec{p}}_{1} | {\vec{p}}^{'} {\vec{p}}_{1}^{'})$ — плотность вероятности столкновения.

ω d^{3} p^{'} d^{3} p_{1}^{'} = u d σ,

d σ = σ (u, θ) d Ω

.

Эффективное сечение зависит от вида потенциала взаимодействия двух частиц. В частности, для жёстких упругих сфер радиуса $R$ :

σ (u, θ) = 4 R^{2} \cos θ

.

Интеграл столкновений представляет собой разность мощностей источников и стоков частиц с данными импульсами:

I (f, f_{1}) = q_{+} - q_{-},

где

$q_{+} = \int ω \cdot f^{'} f_{1}^{'} d^{3} p_{1} d^{3} p^{'} d^{3} p_{1}^{'}$ — мощность источников частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке, появляющихся за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов;
$q_{-} = \int ω \cdot f f_{1} d^{3} p_{1} d^{3} p^{'} d^{3} p_{1}^{'}$ — мощность стоков частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке, исчезающих за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов.

В случае, если для рассматриваемых молекул существенны квантовые эффекты, то интеграл столкновений принимает вид:

I (f, f_{1}) = \int ω \cdot (f^{'} f_{1}^{'} (1 \pm f) (1 \pm f_{1}) - f f_{1} (1 \pm f^{'}) (1 \pm f_{1}^{'})) d^{3} p_{1} d^{3} p^{'} d^{3} p_{1}^{'},

где знак «+» соответствует бозонам, а знак «−» — фермионам.

Аппроксимации

$I (f, f^{'}) = \frac{1}{τ} (f - f^{'})$ ,

где $τ$ — время релаксации, то есть среднее время между столкновениями.