Итерационная формула Герона

Шаблон:Нет ссылокИтерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$,

где a — фиксированное положительное число, а $x_1$ — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе $x_1$ быстро сходится к величине $\sqrt{a}$ (квадратный корень из числа), то есть

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\sqrt{a}$

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения $a-x^2=0$.

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения $\sqrt{25}$ будет значение 3.

n	$x_n$	$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$	Приблизительное значение $x_{n+1}$
1	3	$\frac{1}{2}(3+\frac{25}{3})$	$\frac{1}{2}(3+8.33)=\frac{1}{2}\cdot 11.33\approx 5.67$
2	5.67	$\frac{1}{2}(5.67+\frac{25}{5.67})$	$\frac{1}{2}(5.67+4.41)=\frac{1}{2}\cdot 10.08=5.04$
3	5.04	$\frac{1}{2}(5.04+\frac{25}{5.04})$	$\frac{1}{2}(5.04+4.96)=\frac{1}{2}\cdot 10=5$
4	5	$\frac{1}{2}(5+\frac{25}{5})$	$\frac{1}{2}(5+5)=\frac{1}{2}\cdot 10=5$

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература

• Ancient Square Roots
• Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures