Квантовая ёмкость

Квантовая ёмкость (химическая ёмкость, электрохимическая ёмкость) — дополнительная электрическая ёмкость между затвором и двумерным электронным газом (ДЭГ), возникающая благодаря низкой по сравнению с металлами плотностью состояний в ДЭГ. Этот термин был впервые введен Сержем Лурьи (Serge Luryi) в 1987 году для характеристики изменения химического потенциала в инверсионных слоях кремния и ДЭГ в GaAs.

ДЭГ и затвор представляют собой обычный конденсатор с включённой последовательно квантовой ёмкостью.

Теория

Если одна из обкладок конденсатора представляет собой металл с высокой плотностью состояний, а другая, расположенный на расстоянии d, — ДЭГ с много меньшей плотностью состояний, то изменение напряжения δV на этом конденсаторе приводит к изменению электрического поля между обкладками δE, а также к сдвигу химического потенциала δμ, что можно записать в виде:

$\delta V=\delta Ed+\frac{\delta \mu }{e}=\delta Ed+\frac{\partial \mu }{\partial n}\frac{\delta n}{e}.$

Это выражение можно переписать с учётом вариации заряда δρ=eδn и, воспользовавшись теоремой Гаусса δE=δρ/ε, где ε=ε_dε₀ произведение диэлектрической постоянной материала диэлектрика и диэлектрической постоянной вакуума, через ёмкость, нормированную на площадь обкладок C/A=δρ/δV в упрощённом виде

$\frac{A}{C}=\frac{d}{\epsilon }+\frac{1}{e^2}\frac{\partial \mu }{\partial n}$

Первое слагаемое — это обратная ёмкость плоского конденсатора, а второе слагаемое связано с понятием квантовой ёмкости, которая пропорциональна плотности состояний

$C_Q=e^2\cdot D_{2D}$,

где e — элементарный заряд. Если переписать ёмкость в терминах длины экранирования

$\lambda =\frac{\epsilon }{e^2}\frac{\partial \mu }{\partial n}$,

то выражение примет ещё более прозрачный вид

$\frac{C}{A}=\frac{\epsilon }{(d+\lambda )},$

поясняющий влияние конечной длины проникновения электрического поля в материал с меньшей плотностью состояний, чем у металла. Фактически расстояние между обкладками увеличивается на длину экранирования.

Для ДЭГ плотность состояний равна (учтено только спиновое вырождение)

$D_{2D}=4\pi \frac{m}{h^2}$,

где $m$ — эффективная масса носителей тока. Так как плотность состояний ДЭГ не зависит от концентрации, то квантовая ёмкость тоже не зависит от концентрации, хотя при учёте электрон-электронных взаимодействий квантовая ёмкость зависит от энергии.

Связь со сжимаемостью электронного газа

Шаблон:Main Для электронного газа, как и для обычного идеального газа можно ввести понятие сжимаемости K, обратная величина которой определяется как взятое с отрицательным знаком произведение объёма газа V и изменения давления P электронного газа при изменении объёма с сохранением числа частиц N:

$\frac{1}{K}=-V{\left(\frac{dP}{dV}\right)}_N.$

Другое важное соотношение получается из теоремы Зейтца:

$\frac{1}{K}=n^2\frac{d\mu }{dn}.$

Отсюда следует, что измеряя квантовую ёмкость мы также получаем информацию о сжимаемости электронного газа.

Термодинамическая плотность состояний

Для того чтобы учесть распределение электронов по энергии (распределение Ферми — Дирака $f(\epsilon -\mu )$) из-за конечной температуры T, вводят так называемую термодинамическую плотность состояний, определяемую как

$D(\mu )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\epsilon N(\epsilon )(-\frac{\partial f(\epsilon )}{\partial \epsilon })=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{N(\epsilon )d\epsilon }{4k_{B}T{\text{cosh}}^2\left(\frac{\epsilon -\mu }{2k_{B}T}\right)},$

где $N(\epsilon )$ — плотность состояний при нулевой температуре; $k_B$ — постоянная Больцмана.

Графен

Для графена, где плотность состояний пропорциональна энергии, квантовая ёмкость зависит от концентрации:

$C_Q=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{e^2}{\hslash v_F}\sqrt{n},$

где $\hslash$ — редуцированная постоянная Планка; $v_F$ — фермиевская скорость.

Применительно к одномерному случаю графеновых нанотрубок квантовая ёмкость на единицу длины определяется выражением

$C_Q=2\frac{e^2}{h{v}_F}$,

где $h$ — постоянная Планка.