Кватернионный анализ

Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера.

Определение регулярной функции

Рассмотрим оператор

$\overline{\partial }=\frac{\partial }{\partial \overline{q}}=\frac{\partial }{\partial t}+\overrightarrow{i}\frac{\partial }{\partial x}+\overrightarrow{j}\frac{\partial }{\partial y}+\overrightarrow{k}\frac{\partial }{\partial z}$

Функция кватернионного переменного $f:ℍ\to ℍ$ называется регулярной, если

$\overline{\partial }f=0$

Гармонические функции

Пусть $\overline{\partial }f=0$, тогда и $\partial \overline{\partial }f=0$. Несложно проверить, что оператор $\partial \overline{\partial }$ имеет вид

$\partial \overline{\partial }=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}={\mathrm{\Delta }}_4$

и совпадает с оператором Лапласа в ${ℝ}^4$. Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в ${ℝ}^4$. Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции $\tau :{ℝ}^4\to ℝ$ существует регулярная кватернионная функция $f$ такая, что $\tau =\mathrm{Scal}f$. Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.

Некоторые применения

Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх

Дифференцирование отображений

Пусть $y=f(x)$ — функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной $y{\text{'}}_l$ в точке $x=a$ как такое число, что

$f(x)-f(a)=y{\text{'}}_l(x-a)+o(x-a)$

где $o(h)$ — бесконечно малая от $h$ , то есть

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|o(h)|}{|h|}=0$ .

Множество функций, которые имеют левую производную, ограничено. Например, такие функции, как

$y=axb$

$y=x^2$

не имеют левой производной.

Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.

$a(x+h)b-axb=ahb$

$(x+h{)}^2-x^2=xh+hx+h^2$

Нетрудно убедиться, что выражения

$ahb$ и $xh+hx$

являются линейными функциями кватерниона $h$. Это наблюдение является основанием для следующего определения.

Непрерывное отображение

$f:ℍ\to ℍ$

называется дифференцируемым на множестве $U\subset ℍ$, если в каждой точке $x\in U$ изменение отображения $f$ может быть представлено в виде

$f(x+h)-f(x)=\frac{df(x)}{dx}\circ h+o(h)$

где

$\frac{df(x)}{dx}:ℍ\to ℍ$

линейное отображение алгебры кватернионов $ℍ$ и $o:ℍ\to ℍ$ такое непрерывное отображение, что

$\underset{a\to 0}{\lim }\frac{|o(a)|}{|a|}=0$

Линейное отображение

$\frac{df(x)}{dx}$

называется производной отображения $f$.

Производная может быть представлена в виде

$\frac{df(x)}{dx}=\frac{d_{s0}f(x)}{dx}\otimes \frac{d_{s1}f(x)}{dx}$

Соответственно дифференциал отображения $f$ имеет вид

$df=\frac{df(x)}{dx}\circ dx=(\frac{d_{s0}f(x)}{dx}\otimes \frac{d_{s1}f(x)}{dx})\circ dx=\frac{d_{s0}f(x)}{dx}dx\frac{d_{s1}f(x)}{dx}$

Здесь предполагается суммирование по индексу $s$. Число слагаемых зависит от выбора функции $f$. Выражения

$\frac{d_{s0}df(x)}{dx},\frac{d_{s1}f(x)}{dx}$

называются компонентами производной.

Производная удовлетворяет равенствам

$\frac{d(f(x)+g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}$

$\frac{df(x)g(x)}{dx}=\frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}$

$\frac{df(x)g(x)}{dx}\circ h=(\frac{df(x)}{dx}\circ h)g(x)+f(x)(\frac{dg(x)}{dx}\circ h)$

$\frac{daf(x)b}{dx}=a\frac{df(x)}{dx}b$

$\frac{daf(x)b}{dx}\circ h=a(\frac{df(x)}{dx}\circ h)b$

Если $y=axb$, то производная имеет вид

$\frac{daxb}{dx}=a\otimes b,dy=\frac{daxb}{dx}\circ dx=adxb$

$\frac{d_{10}axb}{dx}=a,\frac{d_{11}axb}{dx}=b$

Если $y=x^2$, то производная имеет вид

$\frac{d{x}^2}{dx}=x\otimes 1+1\otimes x,dy=\frac{d{x}^2}{dx}\circ dx=xdx+dxx$

и компоненты производной имеют вид

$\frac{d_{10}{x}^2}{dx}=x,\frac{d_{11}{x}^2}{dx}=1$

$\frac{d_{20}{x}^2}{dx}=1,\frac{d_{21}{x}^2}{dx}=x$

Если $y=x^{-1}$, то производная имеет вид

$\frac{d{x}^{-1}}{dx}=-x^{-1}\otimes x^{-1},dy=\frac{d{x}^{-1}}{dx}\circ dx=-x^{-1}dx{x}^{-1}$

и компоненты производной имеют вид

$\frac{d_{10}{x}^{-1}}{dx}=-x^{-1},\frac{d_{11}{x}^{-1}}{dx}=x^{-1}$

Литература

• D. B. Sweetser, Doing Physics with Quaternions Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en
• A. Sudbery, Quaternionic Analysis, Department of Mathematics, University of York, 1977.
• В. И. Арнольд, Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов, УМН, 1995, 50:1(301), 3-68

См. также

• Комплексный анализ