Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала

Шаблон:Издание «Краткая книга о восполнении и противопоставлении» (Шаблон:Lang-ar) Шаблон:IPA1 — математический трактат Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми начала IX века, от названия которого произошёл термин алгебра.

Историческое значение

Трактат аль-Хорезми — важная веха развития арифметики и классической алгебры, науки о решении уравнений. Он на столетия определил характер алгебры как практической науки без аксиоматической основы. В трактате аль-Хорезми систематизировал и изложил арифметику в позиционной десятичной системе счисления и решение квадратного уравнения. В Европу трактат аль-Хорезми пришел с переводом на латинский язык в XII веке. Начало развития современной европейской математики связывают с этой книгой и именем аль-Хорезми.

Математик, философ и историк науки Рошди Рашед видит в книге аль-Хорезми глубину рассуждений и выдающуюся новизну. Он пишет:

Содержание

Трактат делится на три части:

• уравнения первой и второй степени с упражнениями;
• практическая тригонометрия;
• решения задач по распределению наследства.

Собственно к алгебре в современном понимании относилась лишь первая часть книги.

В своей книге аль-Хорезми описывает натуральные числа следующим образом:

Страницы из арабской копии книги XIV века, демонстрирующие геометрические решения двух квадратных уравнений

В теоретической части своего трактата аль-Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть видов квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$:

• «квадрат» равен «корню» $a{x}^2=bx$;
• «квадрат» равен свободному члену $a{x}^2=c$;
• «корень» равен свободному члену $bx=c$;
• «квадрат» и «корень» равны свободному члену $a{x}^2+bx=c$;
• «квадрат» и свободный член равны «корню» $a{x}^2+c=bx$ ;
• «корень» и свободный член равны «квадрату» $bx+c=a{x}^2$.

Такая сложная классификация объясняется требованием, чтобы в обеих частях уравнения стояли положительные коэффициенты, и при этом аль-Хорезми искал только положительные корни.

Охарактеризовав каждый вид уравнений он показывает на примерах правила их решения. Например, для уравнения $x^2+10x=39$ он пишет следующее решение:

Страница из книги The Algebra of Mohammed ben Musa Фридриха Августа Розена, 1831 г.

Для трёх последних видов, когда решение не сводится к простому извлечению корня, аль-Хорезми даёт геометрическое доказательство этих правил.

Для приведения квадратно канонических видов аль-Хорезми вводит два действия. Первое из них, аль-джабр, состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. Второе действие — аль-мукабала — состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения. Кроме того, аль-Хорезми вводит правило умножения многочленов. Применение всех этих действий и введённых выше правил он показывает на примере 40 задач.

Данные шесть типов уравнений на протяжении веков были «ядром» алгебры. Только в 1544 году Михаэлем Штифелем были допущены отрицательные коэффициенты, что позволило снизить количество типов уравнений.

Геометрическая часть

Геометрическая часть посвящена, в основном, измерению площадей и объёмов геометрических фигур. Также упоминаются приближения числа π, представленные тремя способами: $3\frac{1}{7}$, $\sqrt{10}$ и $\frac{62832}{20000}$. Последнее приближение, равное $3.1416$, ранее появлялось в индийском трактате Ариабхатия в 499 г..

Практическая часть

В практической части автор приводит примеры применения алгебраических методов в решении хозяйственно-бытовых задач, при измерении земель, строительстве каналов. В «главе о сделках» рассматривается правило для нахождения неизвестного члена пропорции по трём известным членам, а в «главе об измерении» — правила для вычисления площади различных многоугольников, приближённая формула для площади круга и формула объёма усечённой пирамиды. К нему присоединена также «Книга о завещаниях», посвящённая математическим задачам, возникающим при разделе наследства в соответствии с мусульманским каноническим правом.

Переводы

Книга сохранилась в арабской копии и нескольких переводах на латынь.

См. также

• Алгебра
• История алгебры
• Математика исламского средневековья

Литература

• Muhammad ibn Musa Al-Khuwarazmi, Louis Charles Karpinski (Hrsg.): Robert of Chester’s Latin translation of the Algebra of al-Khowarizmi. With an introduction, critical notes and an English version. Macmillan, New York/London 1915 (University of Michigan Studies, Humanistic Series, XI.1)
• Статья: Термины, созданные нашими предками (автор: Искандер аль-Сергали) на сайте «Информационно-коммуникационные технологии Узбекистана» Шаблон:Wayback