Классический радиус электрона

Шаблон:Нет сносок Класси́ческий ра́диус электро́на, также известный как радиус Лоренца или длина томсоновского рассеяния, базируется на классической релятивистской модели электрона, в которой предполагается, что вся масса электрона имеет электромагнитную природу, то есть масса электрона, умноженная на квадрат скорости света, равна энергии создаваемого им электрического поля. При этом электрон представляется сферической частицей с определённым радиусом, поскольку при нулевом радиусе энергия созданного электроном поля была бы бесконечной.

$r_0=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{m_0{c}^2}$ = Шаблон:Nobr,

где Шаблон:Math и Шаблон:Math есть электрический заряд и масса электрона, Шаблон:Math — скорость света, а ${\epsilon }_0$ — диэлектрическая постоянная.

Классический радиус электрона равен радиусу полой сферы, на которой равномерно распределён заряд, если этот заряд равен заряду электрона, а потенциальная энергия электростатического поля $U_0$ полностью эквивалентна половине массы электрона, умноженной на квадрат скорости света (без учета квантовых эффектов):

$U_0=\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{e^2}{r_0}=\frac{1}{2}{m}_0{c}^2$.

Дифференцирование

Классическая шкала длины радиуса электрона может быть мотивирована рассмотрением энергии, необходимой для сборки количества заряда $q$ в сферу заданного радиуса $r$. Электростатический потенциал на расстоянии $r$ от заряда $q$ равен

$V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$.

Чтобы вывести дополнительное количество заряда $dq$ из бесконечности, необходимо вложить в систему энергию $dU$ которая равна

$dU=V(r)dq$.

Если «предполагается», что сфера имеет постоянную плотность заряда $\rho$, то

$q=\rho \frac{4}{3}\pi r^3$ и $dq=\rho 4\pi r^{2}dr$.

Выполнение интегрирования для $r$, начиная с нуля до конечного радиуса $r$, приводит к выражению для суммарнаю энергии $U$, необходимой для сборки полного заряда $q$ в однородную сферу радиуса $r$:

$U=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{3}{5}\frac{q^2}{r}$.

Это называется электростатической собственной энергией объекта. Заряд $q$ теперь интерпретируется как заряд электрона $e$; энергия $U$ устанавливается равной релятивистской масс-энергии электрона $m{c}^2$; числовой коэффициент 3/5 игнорируется как специфический для частного случая однородной плотности заряда. Затем радиус $r$ «определяется» как классический радиус электрона $r_{\text{e}}$ и мы приходим к выражению приведенному выше.

Дифференцирование не говорит, что $r_{\text{e}}$ это фактический радиус электрона. Оно только устанавливает пространственную связь между электростатической собственной энергией и масштабом массы-энергии электрона.

Связь с другими фундаментальными длинами

Сегодня классический радиус электрона рассматривается как классический предел для размеров электрона, которая используется при рассмотрении нерелятивистского рассеяния Томсона, а также в релятивистской формуле Клейна — Нишины. Классический радиус электрона является представителем тройки фундаментальных длин; две другие из этой тройки - боровский радиус ($a_B$) и комптоновская длина волны электрона

${\lambda }_0=h/m_{0}c.$

Учитывая постоянную тонкой структуры Шаблон:Math, классический радиус электрона можно переписать в форме:

$r_0=\alpha {\lambda }_0/2\pi =\alpha {\lambda }_{0\pi },$

где ${\lambda }_{0\pi }={\lambda }_0/2\pi$ — приведённая комптоновская длина волны электрона. Через длину классического радиуса электрона можно выразить комптоновскую длину волны электрона

${\lambda }_{0\pi }=r_0/\alpha$

и боровский радиус:

$a_B=r_0/{\alpha }^2.$

Если рассматривать радиус протона 0,8768 фемтометра(CODATA-2006) ,то радиус электрона в 3.21 раза больше радиуса протона.

Отсюда радиус электрона равен: 2,814528 фемтометра (2017-02-04)

Существование постоянной $r_0,$ однако, не означает, что это настоящий радиус электрона. На таких расстояниях действуют законы квантовой механики, в которой электрон рассматривается как точечная частица.

Литература

• CODATA value for the classical electron radius Шаблон:Wayback at NIST.
• Arthur N. Cox, Ed. «Allen’s Astrophysical Quantities», 4th Ed, Springer, 1999.

Ссылки

• Length Scales in Physics: the Classical Electron Radius