Компактификация Волмэна — Шанина

Компактификация Волмэна — Шанина — это компактификация Шаблон:Нп5, которую построил ВолмэнШаблон:Sfn.

Определение

Точками компактификации $\omega X$ Волмэна пространства X являются максимальные собственные фильтры в частично упорядоченном множестве замкнутых подмножеств XШаблон:Sfn. В явном виде, точка множества $\omega X$ — это семейство $ℱ$ замкнутых непустых подмножеств множества X, таких что $ℱ$ замкнуто онтосительно конечных пересевений и максимально среди всех семейств, обладающих такими свойствами. Для любого закрытого подмножества F из X класс ${\mathrm{\Phi }}_F$ точек $\omega X$, содержащих F замкнут в $\omega X$. Топология $\omega X$ порождается этими замкнутыми классами. Множество $\omega X$ с порождённой топологией называется расширением Волмэна пространства XШаблон:Sfn.

Теорема: Для каждого $T_1$ пространства X его волмэновское расширение $\omega X$ является компактным $T_1$ пространством, содержащим X в качестве всюду плотного подпространства, причём каждое непрерывное отображение $f:X\to Z$ пространства X в произвольный компакт Z можно продолжить до непрерывного отображения $F:\omega X\to Z$Шаблон:Sfn.

Специальные случаи

Теорема: Волмэновское расширение $\omega X$ пространства X является хаусдорфорвым пространством в том и только в том случае, если X нормальноШаблон:Sfn.

Следствие: Если пространство X нормально, то его волмэновское расширение $\omega X$ является компактификацией пространства X, эквивалентной стоун-чеховской компактификации этого пространстваШаблон:Sfn.

См также

• Решётка (алгебра)
• Шаблон:Нп5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:SpringerEOM
• Шаблон:Статья