Комплекс Кошуля

Комплекс Кошуля был впервые введён в математике Шаблон:Нп5, чтобы определить теорию когомологий алгебр Ли. Впоследствии он оказался полезной общей конструкцией гомологической алгебры. Его гомологии могут быть использованы для того, чтобы определить, является ли последовательность элементов кольца Шаблон:Нп5, и, как следствие, он может быть использован для того, чтобы доказать базовые свойства Шаблон:Нп5 модуля или идеала.

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо и E — свободный R-модуль конечного ранга r. Мы обозначаем через ${\wedge }^{i}E$ i-ю внешнюю степень E. Тогда для R-линейного отображения $s:E\to R$ комплекс Кошуля, ассоциированный с s — это цепной комплекс R-модулей

$K_{\bullet }(s):0\to {\wedge }^{r}E\stackrel{d_r}{\to }{\wedge }^{r-1}E\to \cdots \to {\wedge }^{1}E\stackrel{d_1}{\to }R\to 0,$

в котором дифференциал d_k задаётся по правилу: для любых e_i из E

$d_k(e_1\wedge \dots \wedge e_k)=\sum _{i=1}^k(-1{)}^{i+1}s(e_i)e_1\wedge \cdots \wedge \widehat{e_i}\wedge \cdots \wedge e_k$

Надстрочный знак $\hat{\cdot }$ означает, что сомножитель пропускается.

Заметим, что ${\wedge }^{1}E=E$ и $d_1=s$. Заметим также, что ${\wedge }^{r}E\simeq R$; этот изоморфизм не канонический (например, выбор формы объёма в дифференциальной геометрии — это пример такого изоморфизма).

Если E = R^r (то есть выбран базис), то задание R-линейного отображения s: R^r → R эквивалентно заданию конечной последовательности s₁, …, s_r элементов R (вектор-строки) и в этом случае обозначают $K_{\bullet }(s_1,\dots ,s_r)=K_{\bullet }(s).$

Если M — конечно порождённый R-модуль, полагают

$K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s){\otimes }_{R}M$.

i-е гомологии комплекса Кошуля

${\mathrm{H}}_i(K_{\bullet }(s,M))=\ker (d_i\otimes 1_M)/\mathrm{im}(d_{i+1}\otimes 1_M)$

называются i-ми гомологиями Кошуля. Например, если E = R^r и $s=[s_1\cdots s_r]$ — вектор-строка из элементов R, то дифференциал комплекса Кошуля $d_1\otimes 1_M$ есть

$s:M^r\to M,(m_1,\dots ,m_r)\mapsto s_1{m}_1+\dots +s_r{m}_r$

и

${\mathrm{H}}_0(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_1,\dots ,s_r)M=R/(s_1,\dots ,s_r){\otimes }_{R}M.$

Также

${\mathrm{H}}_r(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}={\mathrm{Hom}}_R(R/(s_1,\dots ,s_r),M).$

Комплексы Кошуля малых размерностей

Если даны элемент x кольца R и R-модуль M, умножение на x даёт гомоморфизм R-модулей

$M\to M.$

Если рассматривать его как цепной комплекс (сосредоточенный в степенях 1 и 0), он обозначается $K(x,M)$. Его гомологии равны

$H_0(K(x,M))=M/xM,H_1(K(x,M))=An{n}_M(x)=\{m\in M,xm=0\},$

Таким образом, комплекс Кошуля и его гомологии хранят основную информацию о свойствах умножения на x.

Цепной комплекс K_•(x) называется комплексом Кошуля элемента x кольца R. Если x₁, x₂, …, x_n — элементы R, комплекс Кошуля последовательности x₁, x₂, …, x_n, обычно обозначаемый K_•(x₁, x₂, …, x_n), есть тензорное произведение $K_{\bullet }(x_1)\otimes K_{\bullet }(x_2)\otimes \cdots \otimes K_{\bullet }(x_n)$ комплексов Кошуля для каждого i.

Комплекс Кошуля для пары $(x,y)\in R^2$ имеет вид

$0\to R\stackrel{d_2}{\to }{R}^2\stackrel{d_1}{\to }R\to 0,$

где матрицы $d_1$ и $d_2$ задаются как

$d_1=\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]$ and

$d_2=\left[\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right].$

Тогда циклы степени 1 — это в точности линейные соотношения между элементами x и y, тогда как границы — это тривиальные соотношения. Первые гомологии Кошуля H₁(K_•(x, y)), таким образом, описывают соотношения по модулю тривиальных соотношений.

В случае, когда элементы x₁, x₂, …, x_n образуют регулярную последовательность, все высшие гомологии Кошуля зануляются.

Пример

Если k — это поле, X₁, X₂, …, X_d — неизвестные и R — это кольцо многочленов k[X₁, X₂, …, X_d], комплекс Кошуля K_•(X_i) последовательности X_i является конкретным примером свободной резольвенты R-модуля k.

Литература

• David Eisenbud, Commutative Algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol 150, Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94268-8