Константа простых чисел

Шаблон:Не путать

Константа простых чисел — вещественное число $ρ$ , $n$ -ая двоичная цифра которого равна 1, если $n$ является простым, и 0, если n является составным или 1.

Другими словами, $ρ$ является просто числом, двоичное разложение которого соответствует индикаторной функции множества простых чисел. То есть

ρ = \sum_{p} \frac{1}{2^{p}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{χ_{ℙ} (n)}{2^{n}}

где $p$ означает простое число, а $χ_{ℙ}$ является характеристической функцией простых чисел.

Начальные знаки десятичного представления числа ρ: $ρ = 0, 414682509851111660248109622 \dots$ (Шаблон:OEIS)

Начальные знаки двоичного представления: $ρ = 0, 011010100010100010100010000 \dots_{2}$ (Шаблон:OEIS)

Иррациональность

Легко показать, что число $ρ$ иррационально. Чтобы увидеть это, предположим, что оно рационально.

Обозначим $k$ -й знак двоичного представления $ρ$ через $r_{k}$ . Тогда, поскольку $ρ$ по предположению рационально, должны существовать положительные числа $N$ и $k$ , такие, что $r_{n} = r_{n + i k}$ для всех $n > N$ и всех $i \in ℕ$ .

Поскольку простых чисел бесконечно много, мы можем выбрать простое $p > N$ . По определению мы знаем, что $r_{p} = 1$ . Как было указано выше, должно выполняться $r_{p} = r_{p + i k}$ для любого $i \in ℕ$ . Рассмотрим случай $i = p$ . Мы имеем $r_{p + i \cdot k} = r_{p + p \cdot k} = r_{p (k + 1)} = 0$ , поскольку $p (k + 1)$ составное, так как $k + 1 \geq 2$ . Поскольку $r_{p} \neq r_{p (k + 1)}$ , мы должны констатировать, что $ρ$ иррационально.