Короткая арифметика Гильберта

Короткая арифметика Гильберта — пример полугруппы, иллюстрирующий тот факт, что для доказательства основной теоремы арифметики необходимо использовать свойства не только умножения, но и сложения. Этот пример принадлежит Давиду Гильберту.

Определение

Короткая арифметика Гильберта представляет собой множество чисел вида $4n+1$, где $n$ пробегает все натуральные числа:

$1,5,9,13,17,\dots$

Иногда их называют числа Гильберта. На этом множестве может быть корректно определена стандартная операция умножения, поскольку произведение двух чисел из множества дает вновь число из этого множества: $(4a+1)(4b+1)=4(ab+a+b)+1$. Таким образом, короткая арифметика Гильберта является полугруппой.

Простые числа Гильберта

В арифметике Гильберта можно определить простые числа (простые числа ГильбертаШаблон:Efn) стандартным образом: число Гильберта называется простым Гильберта, если оно не делится на меньшее число Гильберта (отличное от $1$). Последовательность простых Гильберта начинается так:

$5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,\dots$

Простое число Гильберта не обязательно является простым в обычном смысле. Например, $21$ является составным в натуральных числах, поскольку $21=3\cdot 7$, однако оно является простым Гильберта, поскольку ни $3$, ни $7$ (то есть все делители числа $21$, отличные от $1$ и самого числа) не являются числами Гильберта. Из свойств умножения по модулю $4$ следует, что простое Гильберта является либо простым числом вида $4n+1$ (такие числа называются простыми числами Пифагора), либо полупростым вида $(4a+3)(4b+3)$.

Невыполняемость основной теоремы арифметики

Любое число Гильберта может быть разложено на произведение простых чисел Гильберта, однако для короткой арифметики Гильберта не выполняется основная теорема арифметики: такое разложение может быть не единственным. Например, $441$ является числом Гильберта, но разлагается на простых чисел Гильберта двумя способами:

$441=9\cdot 49=21\cdot 21$.

где числа $9$, $49$ и $21$ являются простыми Гильберта.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Cite web