Коррелированное равновесие

Шаблон:Концепция решения Коррелированное равновесие (Шаблон:Lang-en) — концепция решения в теории игр, предложенная Робертом Ауманном в 1974 году. Обобщает равновесие Нэша, то есть всякое равновесное по Нэшу решение является и коррелированным равновесием (обратное в общем случае неверно). В основе концепции лежит идея о том, что игроки совершают действия после получения дополнительной информации, источником которой служит коррелирующее устройство (Шаблон:Lang-en). Поскольку стратегии игроков зависят от одного и того же сигнала, они коррелируют, чем и объясняется название концепции.

Выделяют объективное и субъективное виды коррелированного равновесия. Субъективное коррелированное равновесие эквивалентно концепции рационализируемости.

Определение

Файл:Концепции решения.png

Соотношение равновесных концепций решения. Стрелками обозначено направление от рафинирований к менее требовательным концепциям

Имеется игра в нормальной форме с N участниками, $(N,A_i,u_i)$. Игрок i характеризуется множеством действий $A_i$ и функцией полезности $u_i$. Модификацией стратегии i-го игрока называется функция ${\varphi }_i:A_i\to A_i$, то есть правило, предписывающее игроку выбрать стратегию ${\varphi }_i(a_i)$ вместо $a_i$.

Пусть имеется счётное вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega },\pi )$. Для i-го игрока определены разбиение $P_i$ и апостериорное распределение $q_i$. Также имеется функция $s_i:\mathrm{\Omega }\to A_i$, ставящая элементам одного блока одно и то же значение. Тогда кортеж $((\mathrm{\Omega },\pi ),P_i,s_i)$ является коррелированным равновесием игры $(N,A_i,u_i)$, если для каждого игрока $i$ и каждой модификации ${\varphi }_i$ выполняется

$\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}{q}_i(\omega )u_i(s_i(\omega ),s_{-i}(\omega ))\ge \sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}{q}_i(\omega )u_i({\varphi }_i(s_i(\omega )),s_{-i}(\omega ))$

Иначе говоря, $((\mathrm{\Omega },\pi ),P_i)$ есть коррелированное равновесие если ни один из игроков не сможет повысить ожидаемую полезность путём применения какой-либо модификации.